Seja
um espaço linear e
uma transformação linear.
(a) Mostre que se
é um valor próprio de
, então
é um valor próprio de
. Qual a relação entre os vectores próprios?
(b) Assuma que existe um número natural
maior que 1 tal que
. Quais os possíveis valores próprios de
?
(c) Para
, dê um exemplo de uma transformação satisfazendo a condição da alínea anterior, e que tenha como valores próprios com multiplicidade 1 todos os valores possíveis.
Suponha agora que
está munido de um produto interno
.
(d) Mostre que se além da condição da alínea (b) se tem que
é tal que
para todo o
, então o único valor próprio possível para
é 1 .
(a) Mostre que se
(b) Assuma que existe um número natural
(c) Para
(d) Mostre que se além da condição da alínea (b) se tem que
Passo 1
O enunciado trata de um operador linear
em espaço vetorial
e pede:
- (a) mostrar que se
é valor próprio de então é valor próprio de , e relacionar os vetores próprios; - (b) assumir que existe
tal que e determinar os possíveis valores próprios de ; - (c) no caso
, construir um exemplo de com e que tenha todos os valores próprios (com multiplicidade 1) possíveis; - (d) supondo ainda que
é um espaço com produto interno e que para todo , mostrar que o único valor próprio possível é .
Passo 2
Para (a), seja
tal que
Aplicando
repetidas vezes, obtemos
e, por indução,
Logo
é valor próprio de
e o vetor próprio é o mesmo
.
Passo 3
Para (b), se
é valor próprio de
então existe
com
. Mas
implica
Logo as possíveis soluções são
isto é,
ou
é uma
-ésima raiz da unidade.
Passo 4
Para (c) com
, temos raízes da unidade de ordem
:
, mais
. Num espaço de dimensão 3, seja
e defina
por
Em base
,
é dada pela matriz diagonal
. Claramente
e os valores próprios
ocorrem com multiplicidade
.
Passo 5
Para (d), seja
valor próprio real ou complexo e
próprio associado. Então
Pelo enunciado,
e
, logo
. Dos valores possíveis em (b), excluem-se
(não positivo) e as raízes da unidade diferentes de
(não são reais positivas). Resta
.
Resposta
(a) Se
então
, ou seja, o vetor próprio é o mesmo.
(b) ou
(raízes de unidade de ordem
).
(c) Por exemplo, em dimensão 3, satisfaz
e tem valores próprios
(todos com multiplicidade 1).
(d) A condição força
, sobrando apenas
.
(b)
(c) Por exemplo, em dimensão 3,
(d) A condição