Seja V um espaço linear e T: V V uma transformação linear.
(a) Mostre que se lambda é um valor próprio de T, então lambda^k é um valor próprio de T^k. Qual a relação entre os vectores próprios?
(b) Assuma que existe um número natural n maior que 1 tal que T^n=T. Quais os possíveis valores próprios de T ?
(c) Para n=3, dê um exemplo de uma transformação satisfazendo a condição da alínea anterior, e que tenha como valores próprios com multiplicidade 1 todos os valores possíveis.
Suponha agora que V está munido de um produto interno <cdot, cdot>.
(d) Mostre que se além da condição da alínea (b) se tem que T é tal que <T v, v gg 0 para todo o v in V, então o único valor próprio possível para T é 1 .

Passo 1

O enunciado trata de um operador linear T:Vto V em espaço vetorial V e pede:
  • (a) mostrar que se lambda é valor próprio de T então lambda^k é valor próprio de T^k, e relacionar os vetores próprios;
  • (b) assumir que existe n>1 tal que T^n=T e determinar os possíveis valores próprios de T;
  • (c) no caso n=3, construir um exemplo de T com T^3=T e que tenha todos os valores próprios (com multiplicidade 1) possíveis;
  • (d) supondo ainda que V é um espaço com produto interno e que lang<= T v,vrang<=>0 para todo vneq0, mostrar que o único valor próprio possível é 1.

Passo 2

Para (a), seja vneq0 tal que
T v = lambda,v
Aplicando T repetidas vezes, obtemos
T^2 v = T(Tv)=T(lambda v)=lambda,T v=lambda^2 v,
e, por indução,
T^k v = lambda^k v
Logo lambda^k é valor próprio de T^k e o vetor próprio é o mesmo v.

Passo 3

Para (b), se lambda é valor próprio de T então existe vneq0 com T v=lambda v. Mas T^n=T implica
T^n v = T v ;Longrightarrow; lambda^n v = lambda v ;Longrightarrow; (lambda^n-lambda)v=0 ;Longrightarrow; lambda(lambda^n-1-1)=0
Logo as possíveis soluções são
lambda=0 ou lambda^n-1=1,
isto é, lambda=0 ou lambda é uma (n-1)-ésima raiz da unidade.

Passo 4

Para (c) com n=3, temos raízes da unidade de ordem 2: pm1, mais 0. Num espaço de dimensão 3, seja V=lang<= e1,e2,e3rang<= e defina T por
T(e1)=0, T(e2)=e2, T(e3)=-,e3
Em base ei, T é dada pela matriz diagonal diag(0,1,-1). Claramente T^3=diag(0,1,-1)^3=diag(0,1,-1)=T e os valores próprios 0,1,-1 ocorrem com multiplicidade 1.

Passo 5

Para (d), seja lambda valor próprio real ou complexo e v próprio associado. Então
lang<= T v,vrang<= =lang<= lambda v,vrang<= =lambda,lang<= v,vrang<=
Pelo enunciado, lang<= T v,vrang<=>0 e lang<= v,vrang<=>0, logo lambda>0. Dos valores possíveis em (b), excluem-se 0 (não positivo) e as raízes da unidade diferentes de 1 (não são reais positivas). Resta lambda=1.

Resposta

(a) Se T v=lambda v então T^k v=lambda^k v, ou seja, o vetor próprio é o mesmo.
(b) lambda=0 ou lambda^n-1=1 (raízes de unidade de ordem n-1).
(c) Por exemplo, em dimensão 3, T=diag(0,1,-1) satisfaz T^3=T e tem valores próprios 0,1,-1 (todos com multiplicidade 1).
(d) A condição lang<= T v,vrang<=>0 força lambda>0, sobrando apenas lambda=1.

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