Verifique que H é separável se, e só se, possui uma base enumerável (podendo ser finita).

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, em um espaço de Hilbert H, separabilidade (isto é, existência de um subconjunto denso e enumerável) é equivalente à existência de uma base ortonormal enumerável (finita ou infinita contável). Vamos usar as definições de espaço separável e de base ortonormal, além do processo de Gram–Schmidt.

Passo 2

Direção “ Longrightarrow”: suponha que H possui uma base ortonormal
E=enmid nin N
Então consideremos o conjunto
D=lsumk=1^m qk,enkmid min N,;qkin Q,;nkin Nr
Como Q e N são enumeráveis, D é enumerável. Por definição de base ortonormal, a extensão linear de E é densa em H, logo span,D=span,E=H. Assim, D é um subconjunto denso enumerável e H é separável.

Passo 3

Direção “ Long<=ftarrow”: suponha que H é separável, ou seja, existe um conjunto denso enumerável
D=xnmid nin N
Aplicamos o processo de Gram–Schmidt à sequência (xn), descartando em cada passo os vetores que se mostrarem linearmente dependentes dos anteriores. Esse procedimento gera uma família ortonormal
E=ekmid kin I,
onde Isubseteq N é finito ou infinito contável. Como cada xn fica no fecho do span de E, temos
span,E;supseteq;D ;implies; span,E=H
Portanto E é uma base ortonormal enumerável de H.

Resposta

H é separável se, e somente se, possui uma base ortonormal enumerável (que pode ser finita ou infinita contável).

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