Verifique que é separável se, e só se, possui uma base enumerável (podendo ser finita).
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que, em um espaço de Hilbert , separabilidade (isto é, existência de um subconjunto denso e enumerável) é equivalente à existência de uma base ortonormal enumerável (finita ou infinita contável). Vamos usar as definições de espaço separável e de base ortonormal, além do processo de Gram–Schmidt.
Passo 2
Direção “”: suponha que possui uma base ortonormal
Então consideremos o conjunto
Como e são enumeráveis, é enumerável. Por definição de base ortonormal, a extensão linear de é densa em , logo . Assim, D é um subconjunto denso enumerável e H é separável.
Passo 3
Direção “Long<=ftarrow”: suponha que H é separável, ou seja, existe um conjunto denso enumerável
D=xnmid nin N
Aplicamos o processo de Gram–Schmidt à sequência (xn), descartando em cada passo os vetores que se mostrarem linearmente dependentes dos anteriores. Esse procedimento gera uma família ortonormal
E=ekmid kin I,
onde Isubseteq N é finito ou infinito contável. Como cada xn fica no fecho do span de E, temos
span,E;supseteq;D ;implies; span,E=H
Portanto E é uma base ortonormal enumerável de H.
Resposta
H é separável se, e somente se, possui uma base ortonormal enumerável (que pode ser finita ou infinita contável).