Dado a elipse x^2 / 100+y^2 / 49=1 calcule a quantidade de pares ordenados (m, n) in Z^2 contidos na região delimitada pela elipse. Por exemplo os pares (3,1) e (2,-3) pertencem a região, enquanto os pares (10,1) e (6,6) não pertencem.

Passo 1

O enunciado pede contar todos os pares ordenados (m,n)inZ^2 que satisfazem a desigualdade da elipse
m^2100 + n^249 <= 1
O conteúdo usado aqui é a contagem de pontos de grade interna a uma região simétrica, explorando a simetria da elipse em relação aos eixos cartesianos.

Passo 2

Da condição
m^2100 + n^249 <= 1
vem imediatamente
m^2100 <= 1 Longrightarrow -10 <= m <= 10,
pois m^2<=100. Para cada valor inteiro de m fixo, isolamos n:
n^249<= 1 - m^2100 Longrightarrow n^2 <= 49l(1 - m^2100r)
Definimos então
Nmax(m);=;llfloor 7,raiz1 - tfracm^2100rrfloor,
de modo que n varia de -Nmax(m) a +Nmax(m).

Passo 3

Como a elipse é simétrica em relação ao eixo y, para cada mneq0 o número de pontos (m,n) é o mesmo que para (-m,n). Logo, basta computar o número de possibilidades para m=0,1,2,dots,10 e usar simetria. Para cada m>=0 definimos
T(m) ;=; 2,Nmax(m) + 1
que conta os n de -Nmax(m) a +Nmax(m).

Passo 4

Calculamos Nmax(m) e T(m) para m=0,1,dots,10:
m =0: raiz1-0=1, 7cdot1=7, Nmax=7 Rightarrow T(0)=15
m =1: raiz0,99approx0,99499, 7cdotapprox6,9649, Nmax=6 Rightarrow T(1)=13
m =2: raiz0,96approx0,97980, 7cdotapprox6,8586, Nmax=6 Rightarrow T(2)=13
m =3: raiz0,91approx0,95394, 7cdotapprox6,6776, Nmax=6 Rightarrow T(3)=13
m =4: raiz0,84approx0,91652, 7cdotapprox6,4156, Nmax=6 Rightarrow T(4)=13
m =5: raiz0,75approx0,86603, 7cdotapprox6,0622, Nmax=6 Rightarrow T(5)=13
m =6: raiz0,64=0,8, 7cdot0,8=5,6, Nmax=5 Rightarrow T(6)=11
m =7: raiz0,51approx0,71418, 7cdotapprox4,9993, Nmax=4 Rightarrow T(7)=9
m =8: raiz0,36=0,6, 7cdot0,6=4,2, Nmax=4 Rightarrow T(8)=9
m =9: raiz0,19approx0,43589, 7cdotapprox3,0513, Nmax=3 Rightarrow T(9)=7
m =10: raiz0=0, 7cdot0=0, Nmax=0 Rightarrow T(10)=1

Passo 5

Somando, pelo princípio da simetria:
summ=-10^10 l(2,Nmax(m)+1r) =;T(0);+;2summ=1^10T(m)
Como summ=1^10T(m)=102 e T(0)=15, temos
15 + 2cdot102 = 15 + 204 = 219

Resposta

219 pontos de Z^2 estão contidos na região da elipse.

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