Dado a elipse
calcule a quantidade de pares ordenados
contidos na região delimitada pela elipse. Por exemplo os pares
e
pertencem a região, enquanto os pares
e
não pertencem.
Passo 1
O enunciado pede contar todos os pares ordenados
que satisfazem a desigualdade da elipse
O conteúdo usado aqui é a contagem de pontos de grade interna a uma região simétrica, explorando a simetria da elipse em relação aos eixos cartesianos.
Passo 2
Da condição
vem imediatamente
pois
. Para cada valor inteiro de
fixo, isolamos
:
Definimos então
de modo que
varia de
a
.
Passo 3
Como a elipse é simétrica em relação ao eixo
, para cada
o número de pontos
é o mesmo que para
. Logo, basta computar o número de possibilidades para
e usar simetria. Para cada
definimos
que conta os
de
a
.
Passo 4
Calculamos
e
para
:
m
:
,
,
m :
,
,
m :
,
,
m :
,
,
m :
,
,
m :
,
,
m :
,
,
m :
,
,
m :
,
,
m :
,
,
m :
,
,
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
Passo 5
Somando, pelo princípio da simetria:
Como
e
, temos