Sejam A e B duas matrizes reais n times n, tais que o produto A B é diagonalizável.
(a) Mostre, atravês de um exemplo, que existem matrizes A e B não diagonalizáveis para as quais o produto A B é diagonalizável.
(b) Mostre que se pelo menos uma das matrizes A ou B é não-singular, então B A também é diagonalizável.
(c) Suponha que A é não-singular e que v1, cdots, vn é uma base de vectores próprios de A B. Indique uma base de vectores próprios de B A.
(d) Se A e B são ambas singulares, diga se o resultado da alínea (b) continua válido. Justifique.

Passo 1

O enunciado trata de duas matrizes reais ntimes n, A e B, tais que o produto AB é diagonalizável.
Conteúdo: autovalores e autovetores, similaridade de matrizes, e relação entre AB e BA.
Precisaremos usar exemplos em pequenas dimensões para (a), usar que se M é diagonalizável e X é invertível então X^-1MX também é diagonalizável para (b) e (c), e pensar num contra-exemplo para (d).

Passo 2

(a) Queremos matrizes A e B não diagonalizáveis mas tal que AB seja diagonalizável. Um exemplo clássico em 2times 2 é
A = 0 & 1[6pt]0 & 0, B = 0 & 0[6pt]1 & 0
Cada uma é um bloco de Jordan nilpotente (não diagonalizável). Mas
AB = 0 & 1[3pt]0 & 0 0 & 0[3pt]1 & 0 = 1 & 0[3pt]0 & 0,
que é diagonal (autovalores 1,0 com base de autovetores canônica), logo diagonalizável.]

Passo 3

(b) Suponha que pelo menos uma de A ou B seja invertível.
1. Se B é invertível, então
BA = B,(AB),B^-1,
ou seja, BA é similar a AB. Como similaridade preserva diagonalizabilidade, BA é diagonalizável.
2. Se A é invertível, escrevemos
BA = A^-1,(AB),A,
novamente exibindo BA como similar a AB. Concluímos que BA é diagonalizável.

Passo 4

(c) Agora A é não-singular (invertível) e sabemos que v1,dots,vn é base de autovetores de AB, com
AB,vi = lambdai,vi
Como A é invertível, definimos
wi = A,vi, i=1,dots,n
Então
BA,wi = Bl(A(A,vi)r) = Al(B(A,vi)r) = Al((AB),vir) = A(lambdai,vi) = lambdai,(A,vi) = lambdai,wi
Portanto cada wi é autovetor de BA com autovalor lambdai. Como A é invertível, w1,dots,wn é base, e assim fornecemos uma base de autovetores de BA.

Passo 5

(d) Se ambas A e B são singulares, não podemos fazer a prova de similaridade do item (b), pois faltaria invertibilidade. De fato, o resultado em (b) _pode_ falhar: existem pares de matrizes singulares com AB diagonalizável mas BA não. Em geral, quando nenhuma delas é invertível, BA não fica garantidamente similar a AB, e a estrutura de Jordan em torno do autovalor zero pode mudar, gerando blocos não triviais. Logo o enunciado de (b) não continua válido se ambas forem singulares.

Resposta

(a) Por exemplo, em 2times2,
A=0&10&0,; B=0&01&0,
ambas não diagonalizáveis, mas
AB=1&00&0,
que é diagonalizável.
(b) Se A ou B é invertível, então BA é similar a AB, logo diagonalizável.
(c) Se AB,vi=lambdai vi e A é invertível, então wi=A,vi é autovetor de BA associado a lambdai, e wi é base.
(d) Não continua válido quando ambas são singulares: sem invertibilidade não garantimos similaridade e existem contra-exemplos onde AB é diagonalizável mas BA não.

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