Sejam
e
duas matrizes reais
, tais que o produto
é diagonalizável.
(a) Mostre, atravês de um exemplo, que existem matrizes
e
não diagonalizáveis para as quais o produto
é diagonalizável.
(b) Mostre que se pelo menos uma das matrizes
ou
é não-singular, então
também é diagonalizável.
(c) Suponha que
é não-singular e que
é uma base de vectores próprios de
. Indique uma base de vectores próprios de
.
(d) Se
e
são ambas singulares, diga se o resultado da alínea (b) continua válido. Justifique.
(a) Mostre, atravês de um exemplo, que existem matrizes
(b) Mostre que se pelo menos uma das matrizes
(c) Suponha que
(d) Se
Passo 1
O enunciado trata de duas matrizes reais
,
e
, tais que o produto
é diagonalizável.
Conteúdo: autovalores e autovetores, similaridade de matrizes, e relação entre e
.
Precisaremos usar exemplos em pequenas dimensões para (a), usar que se é diagonalizável e
é invertível então
também é diagonalizável para (b) e (c), e pensar num contra-exemplo para (d).
Conteúdo: autovalores e autovetores, similaridade de matrizes, e relação entre
Precisaremos usar exemplos em pequenas dimensões para (a), usar que se
Passo 2
(a) Queremos matrizes
e
não diagonalizáveis mas tal que
seja diagonalizável. Um exemplo clássico em
é
Cada uma é um bloco de Jordan nilpotente (não diagonalizável). Mas
que é diagonal (autovalores
com base de autovetores canônica), logo diagonalizável.]
Passo 3
(b) Suponha que pelo menos uma de
ou
seja invertível.
. Se
é invertível, então
ou seja,
é similar a
. Como similaridade preserva diagonalizabilidade,
é diagonalizável.
. Se
é invertível, escrevemos
novamente exibindo
como similar a
. Concluímos que
é diagonalizável.
Passo 4
(c) Agora
é não-singular (invertível) e sabemos que
é base de autovetores de
, com
Como
é invertível, definimos
Então
Portanto cada
é autovetor de
com autovalor
. Como
é invertível,
é base, e assim fornecemos uma base de autovetores de
.
Passo 5
(d) Se ambas
e
são singulares, não podemos fazer a prova de similaridade do item (b), pois faltaria invertibilidade. De fato, o resultado em (b) _pode_ falhar: existem pares de matrizes singulares com
diagonalizável mas
não. Em geral, quando nenhuma delas é invertível,
não fica garantidamente similar a
, e a estrutura de Jordan em torno do autovalor zero pode mudar, gerando blocos não triviais. Logo o enunciado de (b) não continua válido se ambas forem singulares.
Resposta
(a) Por exemplo, em
,
ambas não diagonalizáveis, mas
que é diagonalizável.
(b) Se ou
é invertível, então
é similar a
, logo diagonalizável.
(c) Se e
é invertível, então
é autovetor de
associado a
, e
é base.
(d) Não continua válido quando ambas são singulares: sem invertibilidade não garantimos similaridade e existem contra-exemplos onde é diagonalizável mas
não.
(b) Se
(c) Se
(d) Não continua válido quando ambas são singulares: sem invertibilidade não garantimos similaridade e existem contra-exemplos onde