Seja
o espaço dos polinômios, sobre
, de grau
, com produto interno
.
(i) Encontre uma base do subespaço
ortogonal a
.
(ii) Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt à base
para obter uma base ortonormal
de
.
(i) Encontre uma base do subespaço
(ii) Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt à base
Passo 1
O enunciado define
com produto interno
e pede:
- Uma base de
com . - Aplicar Gram–Schmidt em
para obter uma base ortonormal de .
Passo 2
Para (i), escreva
. A condição
é
Calculando termo a termo:
Somando e igualando a zero dá
Passo 3
A equação
define um plano de dimensão 2 em
. Duas escolhas de vetores independentes são:
- Tomando
obtemos . - Tomando
obtemos .
Logo uma base deé
Passo 4
Para (ii), aplique Gram–Schmidt em
.
-
. Como
, temos
- Defina
. Como ,
logo
Passo 5
- Defina
com
. Temos
e
Logo
Calcula-se
, daí
Resposta
(i) Uma base de
é
(ii) Uma base ortonormal de
é