Seja V o espaço dos polinômios, sobre R, de grau <= 2, com produto interno lang<= f, grang<== integral0^1 f(t) g(t) d t.
(i) Encontre uma base do subespaço W ortogonal a h(t)=2 t+1.
(ii) Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt à base 1, t, t^2 para obter uma base ortonormal u1(t), u2(t), u3(t) de V.

Passo 1

O enunciado define V=,fin R[t]middeg f<=2 com produto interno
lang<= f,grang<==integral0^1f(t),g(t),dt
e pede:
  1. Uma base de W=,pin V:lang<= p,hrang<==0 com h(t)=2t+1.
  2. Aplicar Gram–Schmidt em 1,t,t^2 para obter uma base ortonormal de V.

Passo 2

Para (i), escreva p(t)=a+b,t+c,t^2. A condição lang<= p,hrang<==0 é
integral0^1(a+bt+ct^2)(2t+1),dt=0
Calculando termo a termo:
integral0^12a,t,dt=a, integral0^1a,dt=a, integral0^12b,t^2,dt=tfrac2b3, integral0^1b,t,dt=tfracb2, integral0^12c,t^3,dt=tfracc2, integral0^1c,t^2,dt=tfracc3
Somando e igualando a zero dá
2a+2b3+b2+c2+c3=0 ;Longrightarrow; 12a+7b+5c=0

Passo 3

A equação 12a+7b+5c=0 define um plano de dimensão 2 em R^3. Duas escolhas de vetores independentes são:
  • Tomando (a,b,c)=(-7,12,0) obtemos p1(t)=12t-7.
  • Tomando (a,b,c)=(-5,0,12) obtemos p2(t)=12t^2-5.
    Logo uma base de W é
,12t-7,;12t^2-5

Passo 4

Para (ii), aplique Gram–Schmidt em v1,v2,v3=1,t,t^2.
  1. u1=dfracv1|v1|. Como
    |1|^2=integral0^11,dt=1, temos
u1=1
  1. Defina w2=v2-lang<= v2,u1rang<= u1. Como lang<= t,1rang<==tfrac12,
w2=t-tfrac12, |w2|^2=integral0^1(t-tfrac12)^2dt=tfrac112,
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u2=w2|w2| = t-tfrac121/raiz12 =2raiz3,l(t-tfrac12r)

Passo 5

  1. Defina
w3=v3-lang<= v3,u1rang<= u1-lang<= v3,u2rang<= u2
com v3=t^2. Temos
lang<= t^2,1rang<==tfrac13 e
lang<= t^2,u2rang<= =2raiz3integral0^1t^2l(t-tfrac12r)dt =2raiz3,tfrac112 =raiz36
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w3 =t^2-tfrac13-raiz36,u2 =t^2-tfrac13-raiz36,2raiz3l(t-tfrac12r) =t^2 - t + tfrac16
Calcula-se
|w3|^2=tfrac1180, daí
u3=w3|w3| =6raiz5,l(t^2-t+tfrac16r)

Resposta

(i) Uma base de W é
,12t-7,;12t^2-5
(ii) Uma base ortonormal de V é
u1=1, u2=2raiz3,l(t-tfrac12r), u3=6raiz5,l(t^2-t+tfrac16r)

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