1. Seja V um espaço vetorial com produto interno lang<=cdot, cdotrang<=. Sejam u, v in V. Mostre que u=v se, e somente se, lang<= u, wrang<==lang<= v, wrang<=, para todo w in V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial com produto interno lang<=cdot,cdotrang<=, dois vetores u e v são iguais se, e somente se, satisfazem
lang<= u,wrang<= = lang<= v,wrang<= para todo win V
Vamos usar a linearidade do produto interno em cada argumento e a propriedade de definitude positiva.

Passo 2

( Rightarrow) Se u=v, então para qualquer win V vale
lang<= u,wrang<= = lang<= v,wrang<=
porque estamos simplesmente avaliando o mesmo vetor em ambos os lados. Essa direção é imediata.

Passo 3

( Leftarrow) Agora suponha que
lang<= u,wrang<= = lang<= v,wrang<= para todo win V
Defina z = u - v. Então, pela linearidade no primeiro argumento,
lang<= z, wrang<= = lang<= u - v,,wrang<= = lang<= u,wrang<= - lang<= v,wrang<= = 0 para todo win V
Em particular, tomando w=z, obtemos
lang<= z,zrang<= = 0
Mas a propriedade de definitude positiva do produto interno diz que lang<= z,zrang<==0 implica z=0. Logo u-v=0, ou seja, u=v.

Resposta

Mostramos as duas implicações; portanto, concluímos que
u=v iff lang<= u,wrang<= = lang<= v,wrang<= para todo win V

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