- Seja
um espaço vetorial com produto interno
. Sejam
. Mostre que
se, e somente se,
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial com produto interno
, dois vetores
e
são iguais se, e somente se, satisfazem
Vamos usar a linearidade do produto interno em cada argumento e a propriedade de definitude positiva.
Passo 2
(
) Se
, então para qualquer
vale
porque estamos simplesmente avaliando o mesmo vetor em ambos os lados. Essa direção é imediata.
Passo 3
(
) Agora suponha que
Defina
. Então, pela linearidade no primeiro argumento,
Em particular, tomando
, obtemos
Mas a propriedade de definitude positiva do produto interno diz que
implica
. Logo
, ou seja,
.
Resposta
Mostramos as duas implicações; portanto, concluímos que