Sejam
eNo espaço de polinômios reais de grau
, a expressão
define um produto interno.
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro
Falso
Passo 1
O enunciado fala do espaço
dos polinômios reais de grau
(ou seja, polinômios
) e define uma forma
A pergunta é se isso satisfaz as propriedades de produto interno: bilinearidade, simetria e positividade definida.
Passo 2
Verificamos primeiro a bilinearidade (linear em cada argumento) e a simetria. Para quaisquer polinômios
e escalar
:
De modo análogo é linear em
. A simetria
é imediata.
Passo 3
Agora a positividade: para qualquer
,
pois soma de quadrados é não negativa.
Passo 4
Falta ver que
só ocorre se
for o polinômio zero. Se
então
e
. Escrevendo
, temos
e
, logo
. Assim
.
Resposta
Verdadeiro