Sejam u=(x1, y1) eNo espaço de polinômios reais de grau <= 1, a expressão (p, q)=p(0) q(0)+p(1) q(1) define um produto interno.
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso

Passo 1

O enunciado fala do espaço V dos polinômios reais de grau <= 1 (ou seja, polinômios p(t)=at+b) e define uma forma
(p,q)=p(0),q(0)+p(1),q(1)
A pergunta é se isso satisfaz as propriedades de produto interno: bilinearidade, simetria e positividade definida.

Passo 2

Verificamos primeiro a bilinearidade (linear em cada argumento) e a simetria. Para quaisquer polinômios p1,p2,q e escalar lambda:
(p1+p2,q) = (p1(0)+p2(0))q(0)+(p1(1)+p2(1))q(1) =p1(0)q(0)+p1(1)q(1)+p2(0)q(0)+p2(1)q(1) =(p1,q)+(p2,q),
(lambda p1,q)=lambdal(p1(0)q(0)+p1(1)q(1)r)=lambda,(p1,q)
De modo análogo é linear em q. A simetria (p,q)=p(0)q(0)+p(1)q(1)=q(0)p(0)+q(1)p(1)=(q,p) é imediata.

Passo 3

Agora a positividade: para qualquer pin V,
(p,p)=l(p(0)r)^2+l(p(1)r)^2>=0,
pois soma de quadrados é não negativa.

Passo 4

Falta ver que (p,p)=0 só ocorre se p for o polinômio zero. Se
l(p(0)r)^2+l(p(1)r)^2=0
então p(0)=0 e p(1)=0. Escrevendo p(t)=at+b, temos b=p(0)=0 e a+b=p(1)=0, logo a=0. Assim p(t)equiv0.

Resposta

Verdadeiro

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