Seja V um espaço vetorial. Determinar o valor-verdade de cada afirmação abaixo.
(a) Se W é um subconjunto de V tal que W é um espaço vetorial, então W é subespaço vetorial de V;

Passo 1

O enunciado diz: seja V um espaço vetorial e W\subseteq V um subconjunto que, com as operações herdadas de V, também forma um espaço vetorial. Queremos saber se isso implica que W é um subespaço de V. O conteúdo aqui é a definição de subespaço vetorial.

Passo 2

Lembrando a definição, dizemos que W é subespaço vetorial de V se, além de W\subseteq V, as operações de adição e multiplicação escalar em W coincidem com as de V e W satisfaz:
  1. existe o vetor zero (neutro) em W;
  2. todo par de vetores de W tem soma em W;
  3. todo vetor de W e todo escalar têm o produto escalar em W;
  4. todo vetor de W tem seu inverso aditivo em W.

Passo 3

Como o enunciado assegura que W, com as mesmas operações de V, já é um espaço vetorial, todas essas propriedades (fechamento em soma e escalar, existência de zero e de inversos) valem em W. Logo, W satisfaz exatamente as condições de subespaço de V.

Passo 4

Portanto, a afirmação “se W\subseteq V e W é espaço vetorial (com as operações herdadas), então W é subespaço vetorial de V” é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro.

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