Seja
um espaço vetorial. Determinar o valor-verdade de cada afirmação abaixo.
(a) Se
é um subconjunto de
tal que
é um espaço vetorial, então
é subespaço vetorial de
;
(a) Se
Passo 1
O enunciado diz: seja
um espaço vetorial e
um subconjunto que, com as operações herdadas de
, também forma um espaço vetorial. Queremos saber se isso implica que
é um subespaço de
. O conteúdo aqui é a definição de subespaço vetorial.
Passo 2
Lembrando a definição, dizemos que
é subespaço vetorial de
se, além de
, as operações de adição e multiplicação escalar em
coincidem com as de
e
satisfaz:
- existe o vetor zero (neutro) em
; - todo par de vetores de
tem soma em ; - todo vetor de
e todo escalar têm o produto escalar em ; - todo vetor de
tem seu inverso aditivo em .
Passo 3
Como o enunciado assegura que
, com as mesmas operações de
, já é um espaço vetorial, todas essas propriedades (fechamento em soma e escalar, existência de zero e de inversos) valem em
. Logo,
satisfaz exatamente as condições de subespaço de
.
Passo 4
Portanto, a afirmação “se
e
é espaço vetorial (com as operações herdadas), então
é subespaço vetorial de
” é verdadeira.
Resposta
Verdadeiro.