Determine se o vetor (1,1,1) pertence ao subespaço gerado por
\{(1,0,1),(0,1,1)\} .

Passo 1

O enunciado dá o conjunto gerador
\{(1,0,1),(0,1,1)\}
e o vetor alvo
(1,1,1).
A pergunta é clara: determinar se o vetor (1,1,1) pertence ao subespaço gerado por \{(1,0,1),(0,1,1)\}. Em outras palavras: existe uma combinação linear dos vetores (1,0,1) e (0,1,1) que resulte em (1,1,1)?

Passo 2

O que significa "pertencer ao subespaço gerado por \{v_1,v_2\}"? Significa que existem escalares a e b tais que a combinação linear
a\,v_1 + b\,v_2
é exatamente o vetor alvo. Aqui vamos aplicar isso com v_1=(1,0,1) e v_2=(0,1,1). A tarefa é procurar a,b\in\mathbb{R} que satisfaçam essa igualdade. Vou usar um método direto (substituição), que é o mais simples neste caso, porque as coordenadas tornam as igualdades imediatas.

Passo 3

Escrevendo a condição de combinação linear:
a(1,0,1) + b(0,1,1) = (1,1,1).
Expandindo por coordenadas, obtemos o sistema de equações
\begin{cases} a = 1,\\[4pt] b = 1,\\[4pt] a + b = 1. \end{cases}
Expliquei: a primeira coordenada dá a=1, a segunda dá b=1, e a terceira impõe a+b=1.]

Passo 4

Agora substituo os valores obtidos nas duas primeiras equações na terceira. Das duas primeiras já tenho
a=1,\qquad b=1.
Substituindo em a+b=1
1 + 1 = 2,
que não é igual a 1. Portanto a terceira equação não é satisfeita quando a e b tomam os valores necessários para cumprir as duas primeiras. Isso mostra que NÃO existem escalares a,b que tornem verdadeira a combinação linear.

Passo 5

Interpretação rápida e intuitiva: os vetores (1,0,1) e (0,1,1) não são múltiplos um do outro, então sua combinação linear gera um plano (um subespaço de dimensão 2) em \mathbb{R}^3. O vetor (1,1,1) está fora desse plano porque a tentativa de escrever (1,1,1) como a(1,0,1)+b(0,1,1) leva a uma contradição (as coordenadas pedem a=1, b=1 e simultaneamente a+b=1, impossível). Logo (1,1,1) não pertence ao span.

Resposta

Não, (1,1,1) não pertence ao subespaço gerado por \{(1,0,1),(0,1,1)\}.

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