Mostre que
|\vec{x} \cdot \vec{y}|=\|\vec{x}\|\|\vec{y}\| \Longleftrightarrow \vec{x}, \vec{y} são linearmente dependentes.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dá.
  • Pede: mostrar que |\vec{x}\cdot\vec{y}|=\|\vec{x}\|\|\vec{y}\| \Longleftrightarrow \vec{x},\vec{y}\\ \text{são linearmente dependentes}.ã
  • Informações dadas: \vec{x} e \vec{y} são vetores em \mathbb{R}^n com o produto interno usual \vec{x}\cdot\vec{y} e norma \|\vec{v}\|=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}.
O enunciado exige provar uma equivalência (“se e somente se”), ou seja, duas direções:
  1. Se \vec{x} e \vec{y} são linearmente dependentes, então a igualdade ocorre.
  2. Se a igualdade ocorre, então \vec{x} e \vec{y} são linearmente dependentes.

Passo 2

Definições e ideias que vamos usar (explicadas devagar).
  • Produto interno (produto escalar): para \vec{x}=(x_1,\dots,x_n) e \vec{y}=(y_1,\dots,y_n),
    \vec{x}\cdot\vec{y} = \sum_{i=1}^n x_i y_i.
    É um número real.
  • Norma (comprimento) de um vetor \vec{v}:
    \|\vec{v}\| = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}} = \sqrt{\sum_{i=1}^n v_i^2}.
  • Linearmente dependentes: \vec{x} e \vec{y} são linearmente dependentes se existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
    \vec{x} = \lambda \vec{y}\quad\text{ou}\quad \vec{y} = \lambda \vec{x}.
    Nota: se um dos vetores é o vetor nulo, já são linearmente dependentes (pois \vec{0} = 0\cdot \vec{y}).
  • Desigualdade de Cauchy–Schwarz (que vamos provar): para quaisquer vetores \vec{x},\vec{y},
    |\vec{x}\cdot\vec{y}|\le \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|.
    Além disso, a condição de igualdade em Cauchy–Schwarz será crucial para mostrar a implicação reversa.

Passo 3

Prova detalhada da desigualdade de Cauchy–Schwarz (ferramenta central).
Considere a função de t\in\mathbb{R}
f(t)=\|\vec{x}-t\vec{y}\|^2.
Explicando: \vec{x}-t\vec{y} é um vetor que depende de t; sua norma ao quadrado é sempre não negativa, então f(t)\ge 0 para todo t.
Expandindo f(t):
f(t)=(\vec{x}-t\vec{y})\cdot(\vec{x}-t\vec{y}) =\|\vec{x}\|^2-2t(\vec{x}\cdot\vec{y})+t^2\|\vec{y}\|^2.
Isso é um polinômio quadrático em t:
f(t)=\|\vec{y}\|^2 t^2 -2(\vec{x}\cdot\vec{y})t + \|\vec{x}\|^2.
Como f(t)\ge0 para todo t, essa quadrática não tem raízes reais distintas; portanto o discriminante é ≤ 0. O discriminante D é
D = \big(-2(\vec{x}\cdot\vec{y})\big)^2 - 4\|\vec{y}\|^2\|\vec{x}\|^2 =4\big[(\vec{x}\cdot\vec{y})^2 - \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2\big]\le 0.
Dividindo por 4 e reordenando obtém-se
(\vec{x}\cdot\vec{y})^2 \le \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2,
e tomando raiz positiva em ambos os lados:
|\vec{x}\cdot\vec{y}|\le \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|.
Isso é exatamente a desigualdade de Cauchy–Schwarz. Bom!

Passo 4

Condição de igualdade na Cauchy–Schwarz (explicação didática).
No raciocínio acima, a desigualdade veio de D\le0. Para termos igualdade em Cauchy–Schwarz, precisamos de D=0, ou seja
(\vec{x}\cdot\vec{y})^2 = \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2.
Quando D=0, a quadrática f(t) tem exatamente uma raiz real t_0 (vértice que toca o eixo), e então existe t_0 tal que f(t_0)=0. Mas f(t_0)=\|\vec{x}-t_0\vec{y}\|^2=0 implica que
\vec{x}-t_0\vec{y}=\vec{0}\quad\Rightarrow\quad \vec{x}=t_0\vec{y}.
Isto mostra que, quando \vec{y}\neq\vec{0} e a igualdade em Cauchy–Schwarz ocorre, \vec{x} é múltiplo de \vec{y}, ou seja, \vec{x} e \vec{y} são linearmente dependentes.
Observação sobre caso zero: se \vec{y}=\vec{0} (ou \vec{x}=\vec{0}), então \vec{x}\cdot\vec{y}=0 e \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|=0, portanto a igualdade é verdadeira e os vetores são linearmente dependentes (pois qualquer vetor junto com o vetor zero é dependente). Então o caso zero está consistente com a condição de igualdade.

Passo 5

Prova direta da implicação “se são linearmente dependentes então a igualdade ocorre” (parte fácil).
Suponha que \vec{x} e \vec{y} são linearmente dependentes. Então existe \lambda\in\mathbb{R} tal que \vec{x}=\lambda\vec{y} (ou \vec{y}=\lambda\vec{x}; escolhe-se uma forma).
Calcule o produto escalar:
\vec{x}\cdot\vec{y} = (\lambda\vec{y})\cdot\vec{y} = \lambda\,\|\vec{y}\|^2.
Tomando valor absoluto:
|\vec{x}\cdot\vec{y}| = |\lambda|\,\|\vec{y}\|^2.
Por outro lado, a norma de \vec{x} é \|\vec{x}\|=\|\lambda\vec{y}\|=|\lambda|\|\vec{y}\|. Assim
\|\vec{x}\|\|\vec{y}\| = |\lambda|\|\vec{y}\|^2,
que coincide com |\vec{x}\cdot\vec{y}|. Portanto
|\vec{x}\cdot\vec{y}|=\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|.
Isto mostra a primeira direção.

Passo 6

Prova da implicação reversa “se a igualdade ocorre então são linearmente dependentes”.
Agora suponha que
|\vec{x}\cdot\vec{y}|=\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|.
Pelo Passo 3 temos sempre |\vec{x}\cdot\vec{y}|\le \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|. A hipótese diz que há igualdade, logo estamos no caso de igualdade da desigualdade de Cauchy–Schwarz. Pelas observações do Passo 4, isso significa que ou \vec{x}=\vec{0} ou \vec{y}=\vec{0} (caso trivial), ou, se ambos são não nulos, existe t_0\in\mathbb{R} tal que \vec{x}=t_0\vec{y}. Em qualquer dos cenários, \vec{x} e \vec{y} são linearmente dependentes (no caso de um ser zero, a dependência também vale). Assim a igualdade implica dependência linear.

Passo 7

Conclusão final — juntando as duas direções.
  • Mostramos que se \vec{x} e \vec{y} são linearmente dependentes então |\vec{x}\cdot\vec{y}|=\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|.
  • Mostramos que se |\vec{x}\cdot\vec{y}|=\|\vec{x}\|\|\vec{y}\| então \vec{x} e \vec{y} são linearmente dependentes (incluindo o caso de vetor zero).
Portanto as duas condições são equivalentes: a igualdade ocorre se e somente se os vetores são linearmente dependentes. Você conseguiu — essa é uma das propriedades mais legais da desigualdade de Cauchy–Schwarz! Força aí na prova 😃

Resposta

A igualdade |\vec{x}\cdot\vec{y}|=\|\vec{x}\|\|\vec{y}\| ocorre se e somente se \vec{x} e \vec{y} são linearmente dependentes.

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