Informações dadas: \vec{x} e \vec{y} são vetores em \mathbb{R}^n com o produto interno usual \vec{x}\cdot\vec{y} e norma \|\vec{v}\|=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}.
O enunciado exige provar uma equivalência (“se e somente se”), ou seja, duas direções:
Se \vec{x} e \vec{y} são linearmente dependentes, então a igualdade ocorre.
Se a igualdade ocorre, então \vec{x} e \vec{y} são linearmente dependentes.
Passo 2
Definições e ideias que vamos usar (explicadas devagar).
Produto interno (produto escalar): para \vec{x}=(x_1,\dots,x_n) e \vec{y}=(y_1,\dots,y_n),
Quando D=0, a quadrática f(t) tem exatamente uma raiz real t_0 (vértice que toca o eixo), e então existe t_0 tal que f(t_0)=0. Mas f(t_0)=\|\vec{x}-t_0\vec{y}\|^2=0 implica que
Isto mostra que, quando \vec{y}\neq\vec{0} e a igualdade em Cauchy–Schwarz ocorre, \vec{x} é múltiplo de \vec{y}, ou seja, \vec{x} e \vec{y} são linearmente dependentes.
Observação sobre caso zero: se \vec{y}=\vec{0} (ou \vec{x}=\vec{0}), então \vec{x}\cdot\vec{y}=0 e \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|=0, portanto a igualdade é verdadeira e os vetores são linearmente dependentes (pois qualquer vetor junto com o vetor zero é dependente). Então o caso zero está consistente com a condição de igualdade.
Passo 5
Prova direta da implicação “se são linearmente dependentes então a igualdade ocorre” (parte fácil).
Suponha que \vec{x} e \vec{y} são linearmente dependentes. Então existe \lambda\in\mathbb{R} tal que \vec{x}=\lambda\vec{y} (ou \vec{y}=\lambda\vec{x}; escolhe-se uma forma).
Calcule o produto escalar:
Por outro lado, a norma de \vec{x} é \|\vec{x}\|=\|\lambda\vec{y}\|=|\lambda|\|\vec{y}\|. Assim
\|\vec{x}\|\|\vec{y}\| = |\lambda|\|\vec{y}\|^2,
que coincide com |\vec{x}\cdot\vec{y}|. Portanto
|\vec{x}\cdot\vec{y}|=\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|.
Isto mostra a primeira direção.
Passo 6
Prova da implicação reversa “se a igualdade ocorre então são linearmente dependentes”.
Agora suponha que
|\vec{x}\cdot\vec{y}|=\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|.
Pelo Passo 3 temos sempre |\vec{x}\cdot\vec{y}|\le \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|. A hipótese diz que há igualdade, logo estamos no caso de igualdade da desigualdade de Cauchy–Schwarz. Pelas observações do Passo 4, isso significa que ou \vec{x}=\vec{0} ou \vec{y}=\vec{0} (caso trivial), ou, se ambos são não nulos, existe t_0\in\mathbb{R} tal que \vec{x}=t_0\vec{y}. Em qualquer dos cenários, \vec{x} e \vec{y} são linearmente dependentes (no caso de um ser zero, a dependência também vale). Assim a igualdade implica dependência linear.
Passo 7
Conclusão final — juntando as duas direções.
Mostramos que se \vec{x} e \vec{y} são linearmente dependentes então |\vec{x}\cdot\vec{y}|=\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|.
Mostramos que se |\vec{x}\cdot\vec{y}|=\|\vec{x}\|\|\vec{y}\| então \vec{x} e \vec{y} são linearmente dependentes (incluindo o caso de vetor zero).
Portanto as duas condições são equivalentes: a igualdade ocorre se e somente se os vetores são linearmente dependentes. Você conseguiu — essa é uma das propriedades mais legais da desigualdade de Cauchy–Schwarz! Força aí na prova 😃
Resposta
A igualdade |\vec{x}\cdot\vec{y}|=\|\vec{x}\|\|\vec{y}\| ocorre se e somente se \vec{x} e \vec{y} são linearmente dependentes.