Q. 5(1,8). Supondo que lim x a f(x)=L, dê um argumento formal usando a definição de limite, com varepsilon e de<a, para afirmar que lim x a^+ f(x)=L.

Passo 1

O enunciado diz que limxto af(x)=L segundo a definição de limite bilateral, e pede para mostrar que disso segue limxto a^+f(x)=L usando um argumento varepsilon de<a.

Passo 2

Pela definição de limite bilateral, temos: para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, sempre que
0<|x-a|<de<a,
então
|f(x)-L|<varepsilon

Passo 3

Para a definição de limite pela direita, precisamos mostrar: para todo varepsilon>0 existe de<a'>0 tal que, se
0< x-a<de<a',
então
|f(x)-L|<varepsilon

Passo 4

Dado varepsilon>0, use o mesmo de<a fornecido pela definição bilateral. Se x satisfaz
0< x-a<de<a,
então |x-a|<de<a e, pela hipótese da etapa anterior, |f(x)-L|<varepsilon. Logo, escolhendo de<a'=de<a, a condição do limite pela direita fica satisfeita.

Resposta

limxto a^+f(x)=L.

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