Seja
um espaço vetorial com produto interno e considere
. Prove que
(Grupo B)
para quaisquer
se, e somente se,
(Grupo B)
Passo 1
O enunciado diz que em um espaço vetorial com produto interno
, dados
, vale
para todo
se, e somente se,
. Para provar isso, vamos usar a representação da norma pelo produto interno e comparar os quadrados das normas.
Passo 2
Calculemos as normas ao quadrado. Temos
e
Subtraindo, obtemos
Passo 3
Assuma primeiro que
. Então o fator
anula-se, logo
para todo
, o que implica
.
Passo 4
Agora assuma que
para todos . Da equação
para todos
segue que, para quaisquer
tais que
, devemos ter
. Portanto
.
Resposta
A condição
para todos
é equivalente a
.
para todos
é equivalente a