Seja V um espaço vetorial com produto interno e considere u, v in V. Prove que
(Grupo B) |alpha u+lambda v|=|lambda u+alpha v| para quaisquer alpha, lambda in R se, e somente se, |u|=|v|

Passo 1

O enunciado diz que em um espaço vetorial com produto interno V, dados u,vin V, vale
|alphau+lambdav|=|lambdau+alphav|
para todo alpha,lambdainR se, e somente se, |u|=|v|. Para provar isso, vamos usar a representação da norma pelo produto interno e comparar os quadrados das normas.

Passo 2

Calculemos as normas ao quadrado. Temos
|alphau+lambdav|^2 =lang<=alphau+lambdav,,alphau+lambdavrang<= =alpha^2|u|^2+2alphalambdalang<=u,vrang<=+lambda^2|v|^2
e
|lambdau+alphav|^2 =lambda^2|u|^2+2alphalambdalang<=u,vrang<=+alpha^2|v|^2
Subtraindo, obtemos
|alphau+lambdav|^2 -|lambdau+alphav|^2 =(alpha^2-lambda^2)l(|u|^2-|v|^2r)

Passo 3

Assuma primeiro que |u|=|v|. Então o fator |u|^2-|v|^2 anula-se, logo
|alphau+lambdav|^2 -|lambdau+alphav|^2=0
para todo alpha,lambda, o que implica
|alphau+lambdav|=|lambdau+alphav|.

Passo 4

Agora assuma que
|alphau+lambdav|=|lambdau+alphav|
para todos alpha,lambda. Da equação
(alpha^2-lambda^2)l(|u|^2-|v|^2r)=0
segue que, para quaisquer alpha,lambda tais que alpha^2neqlambda^2, devemos ter |u|^2-|v|^2=0. Portanto |u|=|v|.

Resposta

A condição
|alphau+lambdav|=|lambdau+alphav|
para todos alpha,lambdainR
é equivalente a
|u|=|v|.

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