Seja V um espaço vetorial com produto interno e considere u, v in V. Prove que
(Grupo C) Se |u|=|v|=1 elang<=u, vrang<==1, então u=v.

Passo 1

O enunciado está em um espaço vetorial V com produto interno. Temos dois vetores u,vin V tais que |u|=|v|=1 e lang<=u,vrang<==1. O que queremos mostrar é que, nessas condições, necessariamente u=v. Vamos usar a relação entre norma e produto interno aplicada ao vetor diferença u-v.

Passo 2

Recordando a identidade que liga norma e produto interno, para qualquer vetor w vale
|w|^2=lang<=w,wrang<=
Em particular, para w=u-v temos
|u-v|^2 = lang<= u-v,,u-vrang<=

Passo 3

Agora expandimos o produto interno usando bilinearidade e simetria:
lang<= u-v,,u-vrang<= = lang<=u,urang<= -2lang<=u,vrang<= +lang<=v,vrang<=
Como |u|^2=lang<=u,urang<==1, |v|^2=1 e lang<=u,vrang<==1, segue
|u-v|^2 = 1 - 2cdot 1 + 1 = 0

Passo 4

A igualdade |u-v|^2=0 implica |u-v|=0, e no espaço vetorial isso só ocorre quando o vetor é o vetor nulo. Logo
u-v = 0 Longrightarrow u=v

Resposta

Dessa forma, concluímos que u=v.

Exercícios relacionados