Seja
um espaço vetorial com produto interno e considere
. Prove que
(Grupo C) Se
, então
.
(Grupo C) Se
Passo 1
O enunciado está em um espaço vetorial
com produto interno. Temos dois vetores
tais que
e
. O que queremos mostrar é que, nessas condições, necessariamente
. Vamos usar a relação entre norma e produto interno aplicada ao vetor diferença
.
Passo 2
Recordando a identidade que liga norma e produto interno, para qualquer vetor
vale
Em particular, para
temos
Passo 3
Agora expandimos o produto interno usando bilinearidade e simetria:
Como
,
e
, segue
Passo 4
A igualdade
implica
, e no espaço vetorial isso só ocorre quando o vetor é o vetor nulo. Logo
Resposta
Dessa forma, concluímos que
.