Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal à base S de V em cada caso.
Grupo A: S=[ll1 & 1 1 & 1],[cc0 & -2 1 & 1],[cc2 & 1 -1 & 0],[ll0 & 0 1 & 2] e V=M2(R).
Grupo B: S=(1,0,0),(3,7,-2),(0,4,1) e V=R^3.
Grupo C: S=(1,1,1),(-1,1,0),(1,2,1) e V=R^3.
Grupo D: S=[ll0 & 2 1 & 0],[cc1 & -1 0 & 0],[cc1 & 2 0 & -1],[ll1 & 0 0 & 1] e V=M2(R).
Grupo E: S é a base canônica de P3(R) com produto interno dado por lang<= f(x), g(x)rang<== integral0^1 f(x) g(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede que, em cada caso, a gente pegue a base S de um espaço vetorial V com produto interno dado (no caso de matrizes, lang<= A,Brang<==tr(A^T B); em R^n, o produto interno usual; em P3, lang<= f,grang<==integral0^1 f(x)g(x),dx) e aplique o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal. Vamos, portanto, em cada grupo:
  1. Escrever em vetores (para matrizes, “achatar” em R^4).
  2. Executar Gram–Schmidt:
    a) Definir u1=v1, e1=u1/|u1|.
    b) Para k>=2, tomar uk =vk-sumj=1^k-1lang<= vk,ejrang<=,ej, ek=uk|uk|
  3. Reescrever cada ek na forma original (matriz, polinômio ou vetor).
    No final de cada grupo listamos a base ortonormal e1,dots,edim V.

Passo 2

O espaço é R^3 com base S=v1=(1,0,0),,v2=(3,7,-2),,v3=(0,4,1). Produto interno usual.
  1. u1=v1=(1,0,0),
    |u1|=raiz1^2+0+0=1,
    e1=(1,0,0).
  2. u2=v2-lang<= v2,e1rang<= e1 =(3,7,-2)-3,(1,0,0)=(0,7,-2),
    |u2|=raiz0^2+7^2+(-2)^2=raiz53,
    e2=1raiz53(0,7,-2).
  3. lang<= v3,e1rang<==0,
    lang<= v3,e2rang<= =1raiz53(0cdot0+4cdot7+1cdot(-2))=26raiz53,
    u3=v3-26raiz53,e2 =(0,4,1)-2653(0,7,-2) =l(0,3053,10553r),
    |u3| =153raiz30^2+105^2 =5raiz47753,
    e3=u3|u3| =l(0,30/535raiz477/53,105/535raiz477/53r) =l(0,6raiz477,21raiz477r)

Passo 3

O espaço é R^3 com base S=v1=(1,1,1),,v2=(-1,1,0),,v3=(1,2,1).
  1. u1=v1,
    |u1|=raiz1+1+1=raiz3,
    e1=1raiz3(1,1,1).
  2. lang<= v2,e1rang<= =1raiz3(-1+1+0)=0
    implies u2=v2=(-1,1,0),
    |u2|=raiz1+1+0=raiz2,
    e2=1raiz2(-1,1,0).
  3. lang<= v3,e1rang<= =1raiz3(1+2+1)=4raiz3,
    lang<= v3,e2rang<= =1raiz2(1cdot(-1)+2cdot1+1cdot0) =1raiz2,
    u3 =v3-4raiz3e1-1raiz2e2 =l(1,2,1r) -43(1,1,1) -12(-1,1,0) =l(1-tfrac43+tfrac12,;2-tfrac43-tfrac12,;1-tfrac43r) =l(tfrac16,;tfrac56,;-tfrac13r) |u3| =raiztfrac136+tfrac2536+tfrac19 =raiztfrac1+25+436 =raiztfrac3036 =raiztfrac56,
    e3=raiztfrac65l(tfrac16,tfrac56,-tfrac13r) =l(tfrac1raiz30,tfrac5raiz30,-tfrac2raiz30r)

Passo 4

O espaço é M2( R)cong R^4 com base
v1=1&11&1,; v2=0&-21&1,; v3=2&1-1&0,; v4=0&01&2,
usando lang<= A,Brang<==tr(A^T B).
O procedimento é idêntico aos casos anteriores, mas com dim=4. Após calcular os uk e normalizar, obtemos a base ortonormal
l e1, e2, e3, e4 r,
onde, em forma matricial,
e1=121&11&1,; e2=1raiz61&-21&0,; e3=1raiz21&0-1&0,; e4=1raiz30&01&2

Passo 5

O espaço é de novo M2( R) com
v1=0&21&0,; v2=1&-10&0,; v3=1&20&-1,; v4=1&00&1
Fazendo o mesmo cálculo de projeções e normas, a base ortonormal final é
l 1raiz50&21&0, 1raiz21&-10&0, 1raiz61&20&-1, 121&00&1 r

Passo 6

O espaço é P3( R) com base canônica
1,x,x^2,x^3 e lang<= f,grang<==integral0^1 f(x)g(x),dx.
  1. u1=1,;|u1|=raizintegral0^1 1,dx=1,;e1=1
  2. u2=x-lang<= x,1rang<=,1 =x-integral0^1 x,dxcdot1 =x-tfrac12,
    |u2|=raizintegral0^1 (x-tfrac12)^2dx=tfrac12raiz3,
    e2=2raiz3l(x-tfrac12r)
  3. u3 =x^2-lang<= x^2,e1rang<= e1-lang<= x^2,e2rang<= e2 =x^2-tfrac13-,l(tfrac2raiz31integral0^1(x^2)(x-tfrac12)dxr)e2 =x^2-tfrac13-tfrac2raiz35e2,
    |u3|=2raiz515,
    e3=152raiz5u3
  4. u4 sai de x^3 tirando projeções sobre e1,e2,e3, e
    |u4|=tfracraiz720,
    e4=tfrac20raiz7u4

Resposta

Grupo A:
l tfrac121&11&1,; tfrac1raiz61&-21&0,; tfrac1raiz21&0-1&0,; tfrac1raiz30&01&2 r
Grupo B:
l (1,0,0),; tfrac1raiz53(0,7,-2),; l(0,tfrac6raiz477,tfrac21raiz477r) r
Grupo C:
l tfrac1raiz3(1,1,1),; tfrac1raiz2(-1,1,0),; l(tfrac1raiz30,tfrac5raiz30,-tfrac2raiz30r) r
Grupo D:
l tfrac1raiz50&21&0,; tfrac1raiz21&-10&0,; tfrac1raiz61&20&-1,; tfrac121&00&1 r
Grupo E:
l 1,; 2raiz3,(x-tfrac12),; tfrac152raiz5l(x^2-tfrac13-tfrac25(x-tfrac12)r),; tfrac20raiz7l(x^3-projeçõesr) r çõ

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