Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal à base S de em cada caso.
Grupo A: e V=M2(R).
Grupo B: S=(1,0,0),(3,7,-2),(0,4,1) e V=R^3.
Grupo C: S=(1,1,1),(-1,1,0),(1,2,1) e V=R^3.
Grupo D: S=[ll0 & 2 1 & 0],[cc1 & -1 0 & 0],[cc1 & 2 0 & -1],[ll1 & 0 0 & 1] e V=M2(R).
Grupo E: S é a base canônica de P3(R) com produto interno dado por lang<= f(x), g(x)rang<==integral0^1 f(x) g(x) d x.
Passo 1
O enunciado pede que, em cada caso, a gente pegue a base S de um espaço vetorial V com produto interno dado (no caso de matrizes, lang<= A,Brang<==tr(A^T B); em R^n, o produto interno usual; em P3, lang<= f,grang<==integral0^1 f(x)g(x),dx) e aplique o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal. Vamos, portanto, em cada grupo:
Escrever em vetores (para matrizes, “achatar” em R^4).
Executar Gram–Schmidt:
a) Definir u1=v1, e1=u1/|u1|.
b) Para k>=2, tomar uk =vk-sumj=1^k-1lang<= vk,ejrang<=,ej, ek=uk|uk|
Reescrever cada ek na forma original (matriz, polinômio ou vetor).
No final de cada grupo listamos a base ortonormal e1,dots,edim V.
Passo 2
O espaço é R^3 com base S=v1=(1,0,0),,v2=(3,7,-2),,v3=(0,4,1). Produto interno usual.
usando lang<= A,Brang<==tr(A^T B).
O procedimento é idêntico aos casos anteriores, mas com dim=4. Após calcular os uk e normalizar, obtemos a base ortonormal