Considere \mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}), com n \geq 2, conjunto dos polinômios de grau \leq n reunido com o polinômio nulo. Verifique em cada um dos casos se W é um subespaço de \left(\mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}),+, \cdot\right) é espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
W=\left\{p(t) \in \mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}) ; p(t)\right. é divisível por \left.1-t\right\};

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial \mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}) (polinômios de grau \le n) sobre \mathbb{R} e o subconjunto
W = \{\,p(t)\in\mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}) : (1 - t)\text{ divide }p(t)\}.
Queremos verificar se W é subespaço de \mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}). Para isso, vamos checar três condições padrão:
  1. W\neq\emptyset.
  2. Se p,q\in W então p+q\in W.
  3. Se p\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda p\in W.

Passo 2

Verificamos que o polinômio nulo está em W. De fato,
0(t)=0=(1-t)\cdot 0,
logo 0\in W. Assim W não é vazio.

Passo 3

Fechamento sob adição. Suponha
p(t)=(1-t)\,q(t), \quad r(t)=(1-t)\,s(t),
com q,s\in\mathscr{P}_{n-1}(\mathbb{R}). Então
p(t)+r(t) =(1-t)\,q(t)+(1-t)\,s(t) =(1-t)\bigl(q(t)+s(t)\bigr).
Como q+s é polinômio de grau \le n-1, p+r também é divisível por (1-t) e fica em W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e p(t)=(1-t)\,q(t)\in W. Então
\lambda\,p(t) =\lambda\,(1-t)\,q(t) =(1-t)\bigl(\lambda\,q(t)\bigr),
e \lambda q continua sendo polinômio de grau \le n-1. Logo \lambda p\in W.

Resposta

W é subespaço vetorial de \mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}).

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