Considere
, com
, conjunto dos polinômios de grau
reunido com o polinômio nulo. Verifique em cada um dos casos se
é um subespaço de
é espaço vetorial sobre
.
é divisível por
;
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
(polinômios de grau
) sobre
e o subconjunto
Queremos verificar se
é subespaço de
. Para isso, vamos checar três condições padrão:
-
. - Se
então . - Se
e então .
Passo 2
Verificamos que o polinômio nulo está em
. De fato,
logo
. Assim
não é vazio.
Passo 3
Fechamento sob adição. Suponha
com
. Então
Como
é polinômio de grau
,
também é divisível por
e fica em
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
. Então
e
continua sendo polinômio de grau
. Logo
.