Seja V um espaço vetorial qualquer sobre um corpo \mathbb{K} e sejam U e W subespaços vetoriais de V. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
(a) ( ) U \cap W é subespaço vetorial de V se, e somente se, U \cap W=U ou U \cap W=W.
(b) ( ) U+W é subespaço vetorial de V se, e somente se, U \subset W ou W \subset U.
(c) ( ) V é um espaço vetorial, então está definida em V a soma e a multiplicação entre seus vetores, satisfazendo as propriedades: comutatividade, associatividade, elemento neutro e elemento simétrico.
(d) ( ) O próprio espaço vetorial V e o subespaço \{\emptyset\} são os chamados subespaços vetoriais triviais de $V.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, em um espaço vetorial V sobre \mathbb{K} com subespaços U e W, se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve:
  1. Propriedade de interseção de subespaços.
  2. Propriedade da soma de subespaços.
  3. Definição de espaço vetorial (operações e axiomas).
  4. Identificação dos subespaços vetoriais triviais.

Passo 2

(a) Sabemos que, de modo geral, dado quaisquer subespaços U e W de V, a interseção U\cap W é sempre um subespaço de V. Não é necessário que U\cap W seja igual a U ou a W; pode ser um subespaço próprio. Portanto, a afirmação “ U\cap W é subespaço de V se, e somente se, U\cap W=U ou U\cap W=W” é falsa.

Passo 3

(b) A soma
U+W = \{\,u+w \mid u\in U,\;w\in W\}
é sempre um subespaço de V, independentemente de haver inclusão entre U e W. Logo, a afirmação “ U+W é subespaço de V se, e somente se, U\subset W ou W\subset U” também é falsa.

Passo 4

(c) Num espaço vetorial V existem duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalares. A adição satisfaz comutatividade, associatividade, elemento neutro 0 e inverso aditivo. Já a multiplicação por escalar obedece a outras leis (distributividade, compatibilidade de escalares, etc.). Não há “multiplicação entre vetores” que siga exatamente essas quatro propriedades. Assim, a afirmação é falsa.

Passo 5

(d) Os subespaços vetoriais triviais de V são o próprio V e o subespaço que contém apenas o vetor zero, isto é, \{0\}. O conjunto \{\emptyset\} (ou o próprio conjunto vazio) não é subespaço de V. Logo, a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Falsa

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