1. Sejam A_{1}=I_{2}, A_{2}=\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right] e A_{3}=\left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\\\ 0 & -1\end{array}\right] vetores em M_{2}(\mathbb{R}).
    (a) Verifique se A=\left[\begin{array}{rr}3 & 7 \\\\ 0 & -4\end{array}\right] se escreve como combinação linear de A_{1}, A_{2} e A_{3}, em caso afirmativo verifique se a combinação linear é única.
    (b) Determine o conjunto de todas as combinações lineares de A_{1}, A_{2} e A_{3}.

Passo 1

O enunciado dá três matrizes em M_{2}(\mathbb{R}):
A_{1}=I_{2},\quad A_{2}=\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 0 & 2\end{pmatrix},\quad A_{3}=\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & -1\end{pmatrix},
e pede em (a) verificar se
A=\begin{pmatrix}3 & 7\\\ 0 & -4\end{pmatrix}
é combinação linear de A_{1},A_{2},A_{3}, e se essa combinação é única; em (b) determinar todas as combinações lineares desses três vetores. Para isso, vamos usar a ideia de resolver
xA_{1}+yA_{2}+zA_{3}=A
e depois caracterizar o espaço gerado por A_{1},A_{2},A_{3}.

Passo 2

Escrevemos a soma
x\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} +y\begin{pmatrix}1&-1\\\ 0&2\end{pmatrix} +z\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&7\\\ 0&-4\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema de componentes:
\begin{cases} x+y=3,\\\\ -y+z=7,\\\\ 0=0,\\\ x+2y - z = -4. \end{cases}
Das duas primeiras equações obtém-se
x=3-y,\quad z=7+y.
Substituindo na quarta:
(3-y)+2y-(7+y)=-4\;\Longleftrightarrow\;-4=-4,
que é sempre verdadeiro, ou seja, há solução para todo y.

Passo 3

Como a última equação não impõe restrição adicional, a solução é
x=3-y,\quad y\;\text{é livre},\quad z=7+y.é
Logo A pertence ao span de \{A_{1},A_{2},A_{3}\} e, por existir o parâmetro livre y, a combinação não é única.

Passo 4

Para descrever todo o span, note que uma combinação geral é
xA_{1}+yA_{2}+zA_{3} = \begin{pmatrix} x+y & -y+z\\\\ 0 & x+2y-z \end{pmatrix}.
Chamando
a=x+y,\quad b=-y+z,\quad d=x+2y-z,
temos três incógnitas para gerar (a,b,d). De b=-y+z vem z=b+y e então
d = x+2y-(b+y) = (x+y)-b = a-b.
Portanto todo elemento do span é da forma
\begin{pmatrix}a & b\\\ 0 & d\end{pmatrix} \quad\text{com}\quad d = a - b.

Resposta

(a) Sim, A é combinação linear de A_{1},A_{2},A_{3}; há infinitas soluções da forma
x=3-y,\quad y\text{ livre},\quad z=7+y,
portanto a combinação não é única.
(b) O conjunto de todas as combinações lineares é
\Bigl\{\begin{pmatrix}a & b\\\ 0 & a-b\end{pmatrix}\;\Big|\;a,b\in\mathbb{R}\Bigr\}.

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