Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
W=(x, y, z, t) in R^4 mid 2 x+y-t=0 e z=0

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial V = R^4 e o subconjunto
W = (x,y,z,t)in R^4 mid 2x + y - t = 0,; z = 0
A questão pede para verificar se W é subespaço de V. Para isso, vamos usar o teste de subespaço que exige:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor nulo (0,0,0,0) pertence a W. De fato,
2cdot 0 + 0 - 0 = 0 e z = 0,
logo (0,0,0,0)in W. Assim, Wneqemptyset.

Passo 3

Sejam u = (x1,y1,z1,t1) e v = (x2,y2,z2,t2) dois vetores em W. Então
2x1 + y1 - t1 = 0,; z1=0 e 2x2 + y2 - t2 = 0,; z2=0
Considere u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,;t1+t2). Verificamos:
2(x1+x2) + (y1+y2) - (t1+t2) = (2x1+y1-t1)+(2x2+y2-t2) = 0 + 0 = 0,
e
z1 + z2 = 0 + 0 = 0
Logo u+vin W, mostrando fechamento sob soma.

Passo 4

Seja alphainR e u = (x,y,z,t)in W. Então
2x + y - t = 0 e z=0
O vetor alpha u = (alpha x,;alpha y,;alpha z,;alpha t) satisfaz
2(alpha x) + (alpha y) - (alpha t) = alpha,(2x + y - t) = alphacdot 0 = 0,
e
alpha z = alphacdot 0 = 0
Logo alpha uin W, mostrando fechamento sob multiplicação por escalar.

Resposta

W é um subespaço de R^4.

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