Verifique em cada item a seguir se W é um subespaço vetorial de V.
W=(x, y, z) in R^3 ; z=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = (x,y,z)in R^3 mid z=0
é subespaço de V=R^3. Para isso, vamos usar o critério de subespaço que diz que devemos verificar:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero de R^3, ou seja (0,0,0), pertence a W. Como para (0,0,0) temos z=0, então
(0,0,0)in W
Logo, W não é vazio.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam u=(x1,y1,0) e v=(x2,y2,0) em W. Então
u + v = (x1+x2,;y1+y2,;0+0) = (x1+x2,;y1+y2,;0)
Como a terceira componente continua zero, u+vin W.

Passo 4

Fechamento sob escalar: seja alphainR e u=(x,y,0)in W. Então
alpha u = (alpha x,;alpha y,;alphacdot 0) = (alpha x,;alpha y,;0)
A terceira componente continua zero, logo alphauin W.

Resposta

W satisfaz as três condições de subespaço vetorial, portanto é um subespaço de R^3.

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