Verifique em cada item a seguir se W é um subespaço vetorial de V.
W=Q^3 (Q é o conjunto dos racionais ).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = Q^3
é um subespaço vetorial de V. Aqui entendemos V = R^3 como espaço vetorial sobre R. Para mostrar que W é subespaço de V é preciso checar três propriedades:
  1. 0in W.
  2. Fechamento sob soma: se u,vin W então u+vin W.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: se uin W e alphainR então alpha uin W.

Passo 2

Verificamos o vetor nulo:
(0,0,0)inQ^3
pois 0inQ. Logo,
0in W

Passo 3

Tomemos u=(x1,x2,x3) e v=(y1,y2,y3) em W. Então cada xi e yi é racional. A soma
u+v = (x1+y1,;x2+y2,;x3+y3)
tem coordenadas que são soma de racionais, e portanto continuam racionais. Logo
u+vin W,
isto é, W é fechado sob adição.

Passo 4

Para testar o fechamento sob multiplicação por escalar, escolhemos um escalar irracional, por exemplo alpha = raiz2inRsetminusQ, e um vetor u=(1,0,0)in W. Então
alpha,u = (raiz2,0,0)
Mas raiz2notinQ, logo alpha,unotin W. Assim não há fechamento sob multiplicação por escalar em R.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V=R^3.

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