Verifique em cada item a seguir se
é um subespaço vetorial de
.
é o conjunto dos racionais
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subespaço vetorial de
. Aqui entendemos
como espaço vetorial sobre
. Para mostrar que
é subespaço de
é preciso checar três propriedades:
-
. - Fechamento sob soma: se
então . - Fechamento sob multiplicação por escalar: se
e então .
Passo 2
Verificamos o vetor nulo:
pois
. Logo,
Passo 3
Tomemos
e
em
. Então cada
e
é racional. A soma
tem coordenadas que são soma de racionais, e portanto continuam racionais. Logo
isto é,
é fechado sob adição.
Passo 4
Para testar o fechamento sob multiplicação por escalar, escolhemos um escalar irracional, por exemplo
, e um vetor
. Então
Mas
, logo
. Assim não há fechamento sob multiplicação por escalar em
.