Seja
um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto
é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é o espaço vetorial de todas as funções
e que
é o subconjunto das funções ímpares. Para mostrar que
é subespaço de
basta verificar que:
-
não é vazio (contém a função zero). -
é fechado sob soma. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificar que a função zero
(definida por
para todo
) pertence a
. De fato, para todo
:
logo
.
Passo 3
Fechamento sob soma. Tome
. Isso significa que
para todo
. Então, para a soma
temos
Logo
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
. Defina
. Então, para todo
:
Portanto
.