Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
W=f in F(R) mid f(-x)=-f(x)

Passo 1

O enunciado diz que V=F(R) é o espaço vetorial de todas as funções f:RtoR e que
W = ,finF(R)mid f(-x)=-f(x),
é o subconjunto das funções ímpares. Para mostrar que W é subespaço de V basta verificar que:
  1. W não é vazio (contém a função zero).
  2. W é fechado sob soma.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que a função zero ,0:RtoR (definida por 0(x)=0 para todo x) pertence a W. De fato, para todo x:
0(-x)=0=-0= -0(x),
logo 0in W.

Passo 3

Fechamento sob soma. Tome f,gin W. Isso significa que
f(-x)=-f(x) e g(-x)=-g(x)
para todo x. Então, para a soma h=f+g temos
h(-x)=(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))=-(f+g)(x)
Logo hin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja fin W e lambdainR. Defina h=lambda f. Então, para todo x:
h(-x)=(lambda f)(-x)=lambda,f(-x)=lambdal(-f(x)r)=-l(lambda f(x)r)= -h(x)
Portanto lambda fin W.

Resposta

W é um subespaço de V.

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