Seja V um espaço vetorial real normado com norma |cdot|. A distância entre dois vetores u, v in V é definida por:
Escolha uma opção:
a. d(u, v)=|u+v|
b. d(u, v)=||u|-|v||
c. d(u, v)=|u|-|v|
d. d(u, v)=|u-v|
e. Nenhuma das alternativas

Passo 1

O enunciado apresenta um espaço vetorial real normado (V,|cdot|) e pergunta qual das fórmulas dadas define uma distância dcolon Vtimes VtoR. O conteúdo envolvido é o de espaços métricos induzidos por norma, onde usamos as propriedades da norma para verificar os axiomas de métrica.

Passo 2

Lembramos que, em geral, a métrica canônica induzida por uma norma é
d(u,v)=|u-v|
De fato, para todo u,v,win V:
  1. Não-negatividade e separação: |u-v|>=0 e |u-v|=0iff u=v.
  2. Simetria: |u-v|=|-(v-u)|=|v-u|.
  3. Desigualdade triangular:
|u-w|=|(u-v)+(v-w)|<=|u-v|+|v-w|
Portanto, |u-v| satisfaz todos os axiomas de distância.

Passo 3

Analisando rapidamente as outras opções:
  • a. |u+v| falha em separar: se u=-vneq0 dá zero quando não há igualdade.
  • b. l||u|-|v|r| pode ser zero mesmo com uneq v.
  • c. |u|-|v| não é simétrica nem sempre não-negativa.
  • d. |u-v| cumpre todos os axiomas.
    Logo, a resposta correta é a opção (d).

Resposta

d. d(u,v)=|u-v|

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