Seja V um espaço vetorial sobre F. Sejam lang<=,rang<=1: V times V F e lang<=,rang<=2: V times V F dois produtos internos de V. Mostre que
d) A função lang<=,rang<=3: V times V F definida como lang<= u, vrang<=3=0 não é um produto interno.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial V sobre F e em (d) define-se a aplicação
lang<= u,vrang<=3=0
para todo u,vin V. O objetivo é mostrar que essa aplicação não satisfaz a definição de produto interno. Vamos usar a definição de produto interno, que exige, entre outras coisas, positividade estrita: lang<= v,vrang<=>0 para todo vneq0.

Passo 2

Recordando a definição de produto interno: uma forma bilinear (ou sesquilinear, no caso F=C) lang<=cdot,cdotrang<=colon Vtimes VtoF é um produto interno se satisfaz, para todos u,v,win V e alphainF:
  1. (Bilinearidade / Sesquilinearidade)
    lang<= alpha u+v,wrang<==alphalang<= u,wrang<=+lang<= v,wrang<= e análogo na segunda coordenada.
  2. (Simetria ou Conjugação)
    lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=.
  3. (Definitude positiva)
    Para todo vin V, lang<= v,vrang<=>=0 e lang<= v,vrang<==0 se e somente se v=0.

Passo 3

Vamos verificar a positividade estrita em lang<=cdot,cdotrang<=3. Seja vin V qualquer vetor não nulo. Por definição,
lang<= v,vrang<=3=0
Mas a condição de produto interno exige que, se vneq0, então
lang<= v,vrang<=3>0
Logo há uma falha na propriedade de definitude positiva.

Resposta

A forma lang<=cdot,cdotrang<=3 não é um produto interno porque não satisfaz a condição de positividade estrita: para todo vneq0 teríamos lang<= v,vrang<=3>0, mas de fato lang<= v,vrang<=3=0.

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