Seja um espaço vetorial sobre . Sejam e dois produtos internos de . Mostre que
d) A função definida como não é um produto interno.
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço vetorial sobre e em (d) define-se a aplicação
para todo . O objetivo é mostrar que essa aplicação não satisfaz a definição de produto interno. Vamos usar a definição de produto interno, que exige, entre outras coisas, positividade estrita: para todo .
Passo 2
Recordando a definição de produto interno: uma forma bilinear (ou sesquilinear, no caso ) é um produto interno se satisfaz, para todos e :
(Bilinearidade / Sesquilinearidade) e análogo na segunda coordenada.
(Simetria ou Conjugação) .
(Definitude positiva)
Para todo vin V, lang<= v,vrang<=>=0 e lang<= v,vrang<==0 se e somente se v=0.
Passo 3
Vamos verificar a positividade estrita em lang<=cdot,cdotrang<=3. Seja vin V qualquer vetor não nulo. Por definição,
lang<= v,vrang<=3=0
Mas a condição de produto interno exige que, se vneq0, então
lang<= v,vrang<=3>0
Logo há uma falha na propriedade de definitude positiva.
Resposta
A forma lang<=cdot,cdotrang<=3 não é um produto interno porque não satisfaz a condição de positividade estrita: para todo vneq0 teríamos lang<= v,vrang<=3>0, mas de fato lang<= v,vrang<=3=0.