Seja V um espaço vetorial sobre F. Sejam lang<=,rang<=1: V times V F e lang<=,rang<=2: V times V F dois produtos internos de V. Mostre que
c) Se T: V V é uma transformação linear injetora, então a função lang<=,rang<=T: V times V F definida como lang<= u, vrang<=T=lang<= T(u), T(v)rang<=1 é um produto interno.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um espaço vetorial V sobre F com um produto interno lang<=,,,rang<=1 e uma transformação linear injetora T:Vto V, a aplicação
lang<= u,vrang<=T ;=;lang<= T(u),T(v)rang<=1
é também um produto interno em V. Para isso precisamos verificar as três propriedades de um produto interno:
  1. conjugada-simetria (ou simetria, no caso real),
  2. linearidade no primeiro argumento (e conjugada-linearidade no segundo, se F=C),
  3. positividade definida.

Passo 2

(conjugada-)simetria
Como lang<=,,,rang<=1 é produto interno, vale
lang<= T(u),T(v)rang<=1 =lang<= T(v),T(u)rang<=1
Logo,
lang<= u,vrang<=T =lang<= T(u),T(v)rang<=1 =lang<= T(v),T(u)rang<=1 =lang<= v,urang<=T

Passo 3

Linearidade (e conjugada-linearidade)
Para quaisquer u1,u2,vin V e escalares alpha,betainF temos
lang<= alpha u1+beta u2,vrang<=T =lang<= T(alpha u1+beta u2),T(v)rang<=1 =lang<= alpha T(u1)+beta T(u2),T(v)rang<=1,
e como lang<=,,,rang<=1 é bilinear (ou sesquilinear), isso é
alpha,lang<= T(u1),T(v)rang<=1 +beta,lang<= T(u2),T(v)rang<=1 =alpha,lang<= u1,vrang<=T +beta,lang<= u2,vrang<=T
De modo análogo mostra-se a conjugada-linearidade no segundo argumento quando F=C.

Passo 4

Positividade definida
Para todo vin V
lang<= v,vrang<=T =lang<= T(v),T(v)rang<=1
Como lang<=,,,rang<=1 é positivo-definido, lang<= T(v),T(v)rang<=1>0 sempre que T(v)neq0. E, pela injetividade de T, T(v)=0 só se v=0. Portanto
lang<= v,vrang<=T>0se, e somente se, vneq0

Resposta

A aplicação lang<=,,,rang<=T satisfaz conjugada-simetria, linearidade e positividade definida, logo é um produto interno em V.

Exercícios relacionados