Sejam S: P2(R) P2(R) e T: P2(R) P2(R) transformações lineares definidas por
& S(a+b t+c t^2)=(a+b)+(a-b+c) t+(b-c) t^2 & T(a+b t+c t^2)=(a-c)+(b+c) t+(b+c) t^2
(a) Obtenha as matrizes de S e T em relação à base canônica de P2(R).
(b) Obtenha a matriz [S+T].
(c) Calcule [(S+T)(v)], com v=2-t+3 t^2.
(d) Obtenha uma expressão para a transformação S+T
(e) Obtenha a matriz [3 S-5 T].
(f) Calcule [(3 S-5 T)(v)], com v=2-t+3 t^2
(g) Obtenha uma expressão para a transformação 3 S-5 T

Passo 1

O enunciado define duas transformações lineares S,T: P2(R)to P2(R) e pede:
– (a) as matrizes de S e T na base canônica 1,t,t^2;
– (b) a matriz de S+T;
– (c) o vetor coordenado de (S+T)(v) com v=2-t+3t^2;
– (d) a fórmula de S+T agindo em a+bt+ct^2;
– (e) a matriz de 3S-5T;
– (f) o vetor coordenado de (3S-5T)(v);
– (g) a fórmula de 3S-5T em a+bt+ct^2.
Para tudo isso, vamos primeiro achar as imagens de 1,t,t^2 por S e por T.

Passo 2

Calculamos S na base canônica:
– Para 1 ( a=1,b=0,c=0):
S(1)=S(1+0t+0t^2)=(1+0)+(1-0+0)t+(0-0)t^2=1+1t+0t^2,
coordenadas 110.
– Para t ( a=0,b=1,c=0):
S(t)=(0+1)+(0-1+0)t+(1-0)t^2=1-1t+1t^2,
coordenadas 1-11.
– Para t^2 ( a=0,b=0,c=1):
S(t^2)=(0+0)+(0-0+1)t+(0-1)t^2=0+1t-1t^2,
coordenadas 01-1.
Logo, na base 1,t,t^2,
[S]= 1 & 1 & 0 1 & -1 & 1 0 & 1 & -1

Passo 3

Calculamos T na base canônica:
– Para 1 ( a=1,b=0,c=0):
T(1)=(1-0)+(0+0)t+(0+0)t^2=1+0t+0t^2,
coordenadas 100.
– Para t ( a=0,b=1,c=0):
T(t)=(0-0)+(1+0)t+(1+0)t^2=0+1t+1t^2,
coordenadas 011.
– Para t^2 ( a=0,b=0,c=1):
T(t^2)=(0-1)+(0+1)t+(0+1)t^2=-1+1t+1t^2,
coordenadas -111.
Assim,
[T]= 1 & 0 & -1 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1

Passo 4

A matriz de S+T é a soma das matrizes:
[S+T]=[S]+[T]= 1&1&01&-1&10&1&-1 + 1&0&-10&1&10&1&1 = 2&1&-1 1&0&2 0&2&0

Passo 5

Para v=2-t+3t^2 temos o vetor de coordenadas 2-13. Então
[(S+T)(v)] = 2&1&-11&0&20&2&0 2-13 = 08-2 ,
ou seja, (S+T)(v)=0+8t-2t^2.

Passo 6

Somando as fórmulas de S e de T, para p(t)=a+bt+ct^2 temos
(S+T)(p) =(a+b)+(a-b+c)t+(b-c)t^2 ;+;(a-c)+(b+c)t+(b+c)t^2
Agrupando termos:
(S+T)(a+bt+ct^2) =(2a+b-c)+(a+2c)t+(2b)t^2

Passo 7

A matriz de 3S-5T é
3[S]-5[T] = 3 1&1&01&-1&10&1&-1 - 5 1&0&-10&1&10&1&1 = -2&3&5 3&-8&-2 0&-2&-8

Passo 8

Aplicando essa matriz a 2-13:
[(3S-5T)(v)] = -2&3&53&-8&-20&-2&-8 2-13 = 88-22 ,
ou seja, (3S-5T)(v)=8+8t-22t^2.

Passo 9

Para p(t)=a+bt+ct^2,
3S(p)=3l((a+b)+(a-b+c)t+(b-c)t^2r), 5T(p)=5l((a-c)+(b+c)t+(b+c)t^2r),
logo
(3S-5T)(a+bt+ct^2) = (-2a+3b+5c)+(3a-8b-2c)t+(-2b-8c)t^2

Resposta

(a)
[S]= 1 & 1 & 0 1 & -1 & 1 0 & 1 & -1 , [T]= 1 & 0 & -1 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1
(b)
[S+T]= 2 & 1 & -1 1 & 0 & 2 0 & 2 & 0
(c)
[(S+T)(v)] = 08-2 Longrightarrow (S+T)(v)=8t-2t^2
(d)
(S+T)(a+bt+ct^2)=(2a+b-c)+(a+2c)t+2b,t^2
(e)
[3S-5T]= -2 & 3 & 5 3 & -8 & -2 0 & -2 & -8
(f)
[(3S-5T)(v)] = 88-22 Longrightarrow (3S-5T)(v)=8+8t-22t^2
(g)
(3S-5T)(a+bt+ct^2)=(-2a+3b+5c)+(3a-8b-2c)t+(-2b-8c)t^2

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