Seja 
(j) 
(j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre verificar se uma certa função é um produto interno em um espaço vetorial específico. Aqui, o espaço 
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial é uma maneira de multiplicar dois vetores (ou matrizes, no nosso caso) que resulta em um número real. Para que essa função seja um produto interno, ela precisa satisfazer três propriedades básicas:
- Simetria: 
para todas as matrizes e em . 
- Linearidade: O produto interno é linear em cada um dos argumentos. Isso significa que 
e , onde é um escalar. 
- Positividade: 
para toda matriz em , e se e somente se é a matriz zero. 
Vamos verificar essas propriedades para a função dada:
onde 
Passo 3
Verificando a Simetria:
Vamos ver se 
Calculando 
Observamos que:
Então,
Portanto, a simetria está satisfeita.
Passo 4
Verificando a Linearidade:
Vamos verificar a linearidade no primeiro argumento. Ou seja, queremos ver se:
para quaisquer matrizes 
Se 
Calculando 
Distribuindo os termos:
Isso pode ser reescrito como:
Então, a linearidade no primeiro argumento está satisfeita. A linearidade no segundo argumento pode ser verificada de forma semelhante.
Passo 5
Verificando a Positividade:
Agora, vamos checar se 
Calculando 
Para que isso seja sempre não negativo, precisamos garantir que 
No entanto, se escolhermos 
Se escolhermos, por exemplo, 
Isso mostra que a positividade não é garantida para todas as matrizes 
Resposta
Não, a função dada não é um produto interno em 
