Seja V=M2(R) e
W1=A in V lvert, A=(cc x & -x y & z ) ; x, y, z in R
e
W2=B in V lvert, B=(cc a & b -a & c ) ; a, b, c in R
(a) Mostre que W1 e W2 são subespaços de V.
(b) Determine as dimensões de W1, W2, W1 cap W2 e W1+W2.

Passo 1

O enunciado trabalha em , o espaço de todas as matrizes reais . Temos dois subconjuntos:
(a) Queremos mostrar que e são subespaços de .
(b) Depois, determinar , , e .
Para isso vamos usar: definição de subespaço (fechamento em soma e escalar e zero), descrição paramétrica para achar bases e a fórmula

Passo 2

Mostrando que é subespaço de .
  1. O zero de é , que corresponde a , logo está em .
  2. Se e estão em , então
também está em (mesma forma com , etc.).
3. Para ,
fica em .
Logo é subespaço.

Passo 3

Mostrando que W2 é subespaço de V.
  1. O zero está em W2 (basta a=b=c=0).
  2. Se B1=a1&b1-a1&c1 e B2=a2&b2-a2&c2, então
B1+B2 =a1+a2&b1+b2-(a1+a2)&c1+c2
está em W2.
3. Para lambdainR,
lambda B1 =lambda a1&lambda b1-lambda a1&lambda c1
está em W2.
Então W2 é subespaço.

Passo 4

Dimensão de .
Em podemos parametrizar por , escrevendo
Esses três vetores são linearmente independentes e geram . Logo

Passo 5

Dimensão de W2.
Em W2 usamos (a,b,c) e escrevemos
a&b-a&c =a1&0-1&0 +b0&10&0 +c0&00&1
Esses três são L.I. e geram W2. Logo
dim W2=3

Passo 6

Dimensão de .
Uma matriz em deve ser ao mesmo tempo
e . Igualando entradas:
Logo fica
dois parâmetros livres. Assim

Passo 7

Dimensão de W1+W2.
Pela fórmula
dim(W1+W2) =dim W1+dim W2-dim(W1cap W2) =3+3-2=4
Como dim V=4, concluímos W1+W2=V.

Resposta

dim W1=3,;dim W2=3,;dim(W1cap W2)=2,;dim(W1+W2)=4

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