Seja
o espaço das funções reais. Verifique quais dos seguintes conjuntos é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e o subconjunto
Para verificar se
é subespaço de
, precisamos checar três condições:
- O vetor zero de
pertence a . -
é fechado sob soma: se então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Passo 2
Verificamos o vetor zero em
, que é a função
dada por
para todo
. Então
logo
.
Passo 3
Agora, suponha
. Isso significa
Considere a soma
. Então
o que mostra que
.
Passo 4
Por fim, seja
e
, ou seja,
. Definindo
, temos
portanto
.
Passo 5
Como
contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.