Seja V=f: R longrightarrow R o espaço das funções reais. Verifique quais dos seguintes conjuntos é um subespaço vetorial de V.
W=f: R longrightarrow R / f(0)=f(1)

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
V = f:RtoR
e o subconjunto
W = f:RtoRmid f(0)=f(1)
Para verificar se W é subespaço de V, precisamos checar três condições:
  1. O vetor zero de V pertence a W.
  2. W é fechado sob soma: se f,gin W então f+gin W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se fin W e alphainR então alpha fin W.

Passo 2

Verificamos o vetor zero em V, que é a função 0:RtoR dada por 0(x)=0 para todo x. Então
0(0)=0=0(1),
logo 0in W.

Passo 3

Agora, suponha f,gin W. Isso significa
f(0)=f(1), g(0)=g(1)
Considere a soma h=f+g. Então
h(0)=f(0)+g(0)=f(1)+g(1)=h(1),
o que mostra que f+gin W.

Passo 4

Por fim, seja alphainR e fin W, ou seja, f(0)=f(1). Definindo k=alpha f, temos
k(0)=alpha,f(0)=alpha,f(1)=k(1),
portanto alpha fin W.

Passo 5

Como W contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de V.

Resposta

W é subespaço vetorial de V.

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