Verifique, em cada caso, se o conjunto W dado é um subespaço de R^2 :
W=(x, y) in R^2: 2 x+3 y=0;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se W=(x,y)inR^2:2x+3y=0 é um subespaço de R^2. O conteúdo aqui é subespaço vetorial em R^2. Para isso, precisamos mostrar três propriedades:
  1. o vetor zero pertence a W,
  2. W é fechado sob soma de vetores,
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0) está em W. Calculamos
2cdot 0 + 3cdot 0 = 0,
logo (0,0)in W.

Passo 3

Fechamento sob adição: sejam (x1,y1) e (x2,y2) vetores em W. Então
2x1+3y1=0 e 2x2+3y2=0
Somando as duas igualdades,
2(x1+x2) + 3(y1+y2) = (2x1+3y1) + (2x2+3y2) = 0 + 0 = 0,
portanto (x1+x2,;y1+y2)in W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja alphainR e (x,y)in W. Então
2x + 3y = 0
Multiplicando por alpha,
2(alpha x) + 3(alpha y) = alpha,(2x+3y) = alphacdot 0 = 0,
logo (alpha x,alpha y)in W.

Resposta

W é um subespaço de R^2.

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