Se V=Mn(K), onde n >=q 2. Verifique se os seguintes subconjuntos de V são subespaços vetoriais de V.
W=A in V / det(A)=0

Passo 1

O enunciado diz que V=Mn(K) é o espaço vetorial de todas as matrizes ntimes n sobre o corpo K, com n>=2. Queremos ver se
W = Ain V mid det(A)=0
é subespaço de V. Lembrando que um subconjunto é subespaço vetorial se e somente se (i) contém o vetor zero, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se a matriz zero 0 de Mn(K) pertence a W. Como
det(0) = 0,
segue que 0in W. Portanto, a condição (i) está satisfeita.

Passo 3

Agora testamos a condição de fechamento sob soma. Basta encontrar duas matrizes singulares cuja soma seja inversível. Por exemplo, em M2(K) tomemos
A = 1 & 0 [6pt] 0 & 0, B = 0 & 0 [6pt] 0 & 1
Temos det(A)=1cdot0-0cdot0=0 e det(B)=0cdot1-0cdot0=0, logo A,Bin W. Mas
A+B = 1 & 0 [6pt] 0 & 1,
e
det(A+B) = 1cdot1 -0cdot0 = 1 neq 0
Portanto A+Bnotin W. Isso mostra que W não é fechado sob soma, falhando a condição (ii).]

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

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