Se
, onde
. Verifique se os seguintes subconjuntos de
são subespaços vetoriais de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é o espaço vetorial de todas as matrizes
sobre o corpo
, com
. Queremos ver se
é subespaço de
. Lembrando que um subconjunto é subespaço vetorial se e somente se (i) contém o vetor zero, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos se a matriz zero
de
pertence a
. Como
segue que
. Portanto, a condição (i) está satisfeita.
Passo 3
Agora testamos a condição de fechamento sob soma. Basta encontrar duas matrizes singulares cuja soma seja inversível. Por exemplo, em
tomemos
Temos
e
, logo
. Mas
e
Portanto
. Isso mostra que
não é fechado sob soma, falhando a condição (ii).]