Se V=Mn(K), onde n >=q 2. Verifique se os seguintes subconjuntos de V são subespaços vetoriais de V.
W=A in V / det(A) neq 0

Passo 1

O enunciado define V = Mn(K) com n>=2 e o subconjunto
W = ,Ain V mid det(A)neq 0,
isto é, todas as matrizes invertíveis. Para verificar se W é subespaço de V, precisamos checar três propriedades:
  1. 0in W.
  2. Se A,Bin W então A+Bin W.
  3. Se Ain W e lambdain K então lambda Ain W.

Passo 2

Testando a presença do vetor zero: a matriz zero 0in V tem det(0)=0, logo
0notin W
Como todo subespaço deve conter o vetor zero, W já falha nessa condição.

Passo 3

Para reforçar, observe também que se Ain W (ou seja, det(A)neq0) e lambda=0, então
0cdot A = 0
e det(0)=0, o que implica 0cdot Anotin W. Assim, W falha em ser fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

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