Seja V=f: R longrightarrow R o espaço das funções reais. Verifique quais dos seguintes conjuntos é um subespaço vetorial de V.
W=f: R longrightarrow R / f(3)=0

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=f:RtoR de todas as funções reais e o subconjunto
W=f:RtoRmid f(3)=0
Para decidir se W é subespaço vetorial de V, vamos usar os três critérios: presença do vetor zero, fechamento sob soma e fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Presença do vetor zero. O vetor zero em V é a função f0 dada por f0(x)=0 para todo x. Em particular,
f0(3)=0,
logo f0in W.

Passo 3

Fechamento sob adição. Suponha f,gin W. Então
f(3)=0 e g(3)=0
Logo
(f+g)(3)=f(3)+g(3)=0+0=0,
isto é, f+gin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Suponha fin W e alphainR. Como f(3)=0, temos
(alpha f)(3)=alpha,f(3)=alphacdot0=0,
logo alpha fin W.

Resposta

W é subespaço vetorial de V.

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