Seja V=f: R longrightarrow R o espaço das funções reais. Verifique quais dos seguintes conjuntos é um subespaço vetorial de V.
W=f: R longrightarrow R / f^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V como o conjunto de todas as funções reais fcolonRtoR e o subconjunto
W = ,fcolonRtoR mid f'(0)=1
Para que W seja subespaço de V, é preciso que (i) o vetor zero de V pertença a W, (ii) W seja fechado sob soma e (iii) W seja fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Testamos o vetor zero de V, que é a função f0(x)=0 para todo x. Nesse caso,
f0'(x)=0para todo x,
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f0'(0)=0neq1
Portanto f0notin W, o que já é suficiente para concluir que W não é subespaço.

Passo 3

Para ilustrar a falha na soma, consideremos duas funções quaisquer f,gin W. Temos
f'(0)=1 e g'(0)=1,
então
(f+g)'(0) = f'(0)+g'(0) = 2neq1,
ou seja, f+gnotin W.

Passo 4

Para ilustrar a falha na multiplicação escalar, seja fin W e cinR. Então
(cf)'(0) = c,f'(0) = ccdot1 = c
Para que cfin W precisaríamos de c=1, mas subespaço exige fechamento para todo cinR.

Resposta

W não é um subespaço vetorial de V.

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