Seja
o espaço das funções reais. Verifique quais dos seguintes conjuntos é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
como o conjunto de todas as funções reais
e o subconjunto
Para que
seja subespaço de
, é preciso que (i) o vetor zero de
pertença a
, (ii)
seja fechado sob soma e (iii)
seja fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Testamos o vetor zero de
, que é a função
para todo
. Nesse caso,
logo
Portanto
, o que já é suficiente para concluir que
não é subespaço.
Passo 3
Para ilustrar a falha na soma, consideremos duas funções quaisquer
. Temos
então
ou seja,
.
Passo 4
Para ilustrar a falha na multiplicação escalar, seja
e
. Então
Para que
precisaríamos de
, mas subespaço exige fechamento para todo
.