Seja V=f: R longrightarrow R o espaço das funções reais. Verifique quais dos seguintes conjuntos é um subespaço vetorial de V.
W=f: R longrightarrow R / f(x) <= 0

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
V=fcolon RtoR
e o subconjunto
W = ,fcolon RtoRmid f(x)<= 0 para todo xinR
Queremos verificar se W é subespaço de V. Para isso, checamos: (i) o vetor zero está em W, (ii) fechamento em soma e (iii) fechamento em multiplicação escalar.

Passo 2

Vetor zero: considere a função zero f0 definida por
f0(x)=0forall xinR
Como 0<= 0, temos f0(x)<=0, logo f0in W.

Passo 3

Fechamento sob adição: sejam f,gin W. Então, para todo x,
f(x)<=0 e g(x)<=0 ;Longrightarrow; (f+g)(x)=f(x)+g(x)<=0+0=0
Logo f+gin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja fin W e lambdainR. Então
(lambda f)(x)=lambda,f(x)
Se lambda>=0, então lambda f(x)<=0. Mas se lambda<0, como em lambda=-1, e escolhermos por exemplo f(x)equiv -1, obtemos
(-1)cdot(-1)=1>0,
que não satisfaz <=0. Assim -1cdot fnotin W, violando o fechamento escalar.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

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