Seja
o espaço das funções reais. Verifique quais dos seguintes conjuntos é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e o subconjunto
e o subconjunto
Queremos verificar se
é subespaço de
. Para isso, checamos: (i) o vetor zero está em
, (ii) fechamento em soma e (iii) fechamento em multiplicação escalar.
Passo 2
Vetor zero: considere a função zero
definida por
Como
, temos
, logo
.
Passo 3
Fechamento sob adição: sejam
. Então, para todo
,
Logo
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar: seja
e
. Então
Se
, então
. Mas se
, como em
, e escolhermos por exemplo
, obtemos
que não satisfaz
. Assim
, violando o fechamento escalar.