Seja uma v.a. com fdp dada na tabela a seguir:
0 1 2 3 4 5
0
Calcule e

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória discreta X com suporte 0,1,2,3,4,5 e
pX(0)=0, pX(1)=p^2,;pX(2)=p^2,;pX(3)=p,;pX(4)=p,;pX(5)=p^2
Queremos calcular E(X) e Var(X). Para isso, primeiro usamos a condição de normalização sumx pX(x)=1 para determinar p, depois aplicamos as fórmulas
E(X)=sumx x,pX(x), Var(X)= E(X^2)-[ E(X)]^2

Passo 2

Impondo a soma das probabilidades igual a 1, temos
sumx=0^5 pX(x) =0 + p^2 + p^2 + p + p + p^2 =3p^2 + 2p stackrel!=1

Passo 3

Resolvendo a equação
3p^2 + 2p - 1 = 0
usando a fórmula de Bhaskara, obtemos
p = -2pmraiz4 + 126 = -2pm46 ;Rightarrow; p = 13 ou p=-1
Como p deve estar em [0,1], fica p=tfrac13.

Passo 4

Calculamos a esperança em função de p:
E(X) =sumx x,pX(x) =1cdot p^2 + 2cdot p^2 + 3cdot p + 4cdot p + 5cdot p^2 =8p^2 + 7p
Substituindo p=tfrac13:
E(X) =8l(tfrac13r)^2 + 7l(tfrac13r) =89 + 73 =8 + 219 =299

Passo 5

Agora o segundo momento:
E(X^2) =sumx x^2,pX(x) =1^2 p^2 + 2^2 p^2 + 3^2 p + 4^2 p + 5^2 p^2 =30p^2 + 25p
Com p=tfrac13:
E(X^2) =30l(tfrac13r)^2 + 25l(tfrac13r) =309 + 253 =103 + 253 =353

Passo 6

Por fim, a variância:
Var(X) = E(X^2)-[ E(X)]^2 =353 - l(299r)^2 =353 - 84181 =945 - 84181 =10481

Resposta

E(X)=299, Var(X)=10481

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