Seja uma v.a. com fdp dada na tabela a seguir:
0 1 2 3 4 5
0
Calcule

Passo 1

O enunciado define uma v.a. discreta X com suporte 0,1,2,3,4,5 e pmf dada por
P(X=0)=0,;P(X=1)=p^2,;P(X=2)=p^2,;P(X=3)=p,;P(X=4)=p,;P(X=5)=p^2
Pede-se calcular
Prl(|X-3|>=2r)
Para isso precisamos (i) determinar p usando a condição de normalização e (ii) somar as probabilidades dos valores de X que satisfazem lvert X-3rvert>=2.

Passo 2

Aplicamos a normalização sumxP(X=x)=1. Aqui há três termos p^2 e dois termos p, de modo que
3p^2 + 2p = 1
Reescrevendo em forma padrão,
3p^2 + 2p -1 = 0
Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos
p = -2 pm raiz4 + 126 = -2 pm 46
A única solução viável em [0,1] é
p = -2 + 46 = 13

Passo 3

Identificamos o evento lvert X-3rvert>=2. Isso significa
X-3 <= -2 Long<=ftrightarrow X<=1,
ou
X-3 >= 2 Long<=ftrightarrow X>=5
No nosso suporte, isso corresponde a
,X=0,,X=1,,X=5

Passo 4

Calculamos a probabilidade somando os pontos do evento:
Prl(|X-3|>=2r) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=5) = 0 + p^2 + p^2 = 2p^2
Substituindo p=tfrac13, temos
2p^2 = 2cdotl(tfrac13r)^2 = 2cdottfrac19 = tfrac29

Resposta

Prl(|X-3|>=2r) = 29

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