Seja V um K-espaço vetorial. Se W é subespaço de V e A é um subconjunto de vetores l.i. de W então A é um subconjunto de vetores l.i. de V.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial sobre o corpo K, W é um subespaço de V e A\subseteq W é um conjunto de vetores linearmente independentes em W. Queremos mostrar que A também é linearmente independente em V. O conceito-chave que vamos usar é a definição de independência linear e o fato de que toda combinação linear em W também vale em V.

Passo 2

Lembramos a definição de independência linear em W: o conjunto A é linearmente independente em W se, sempre que tivermos uma combinação
\sum_{i=1}^n \lambda_i\,w_i = 0_W
com w_i\in A e \lambda_i\in K, isso implica \lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0. Aqui 0_W é o vetor nulo de W.

Passo 3

Agora, suponha que em V exista uma combinação linear dos mesmos vetores de A que dá zero em V:
\sum_{i=1}^n \lambda_i\,w_i = 0_V.
Como W é subespaço de V, todos os w_i e também a soma estão em W. Além disso, 0_V=0_W. Logo essa combinação é válida em W, e pela independência de A em W seguimos que todos os \lambda_i devem ser zero.

Passo 4

Concluímos que qualquer combinação linear em V que zere impõe coeficientes nulos, exatamente a condição de independência linear em V. Portanto, A é linearmente independente em V.

Resposta

O conjunto A é linearmente independente em V.

Exercícios relacionados