Seja
um
-espaço vetorial. Se
é subespaço de
e
é um subconjunto de vetores l.i. de
então
é um subconjunto de vetores l.i. de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial sobre o corpo
,
é um subespaço de
e
é um conjunto de vetores linearmente independentes em
. Queremos mostrar que
também é linearmente independente em
. O conceito-chave que vamos usar é a definição de independência linear e o fato de que toda combinação linear em
também vale em
.
Passo 2
Lembramos a definição de independência linear em
: o conjunto
é linearmente independente em
se, sempre que tivermos uma combinação
com
e
, isso implica
. Aqui
é o vetor nulo de
.
Passo 3
Agora, suponha que em
exista uma combinação linear dos mesmos vetores de
que dá zero em
:
Como
é subespaço de
, todos os
e também a soma estão em
. Além disso,
. Logo essa combinação é válida em
, e pela independência de
em
seguimos que todos os
devem ser zero.
Passo 4
Concluímos que qualquer combinação linear em
que zere impõe coeficientes nulos, exatamente a condição de independência linear em
. Portanto,
é linearmente independente em
.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente em
.