Seja
um
-espaço vetorial. Se
é subespaço de
e
, onde
é um subconjunto de vetores l.i. em
então
é um subconjunto de vetores l.i. de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial sobre o corpo
, que
é um subespaço de
e que
é um conjunto de vetores que já é linearmente independente em
. O que queremos mostrar é que essa mesma independência linear vale em
. Para isso vamos usar apenas a definição de independência linear e o fato de que em um subespaço as operações são as mesmas do espaço maior.
Passo 2
Lembrando a definição: um conjunto de vetores
é linearmente independente num espaço
se, sempre que\r
com
, daí decorre que
Passo 3
Agora, seja
e suponha que em
tenhamos uma combinação linear que dá o zero de
:
Como
é subespaço de
, o vetor
é o mesmo que
e a soma escalar em
coincide com a soma escalar em
. Logo essa mesma igualdade vale em
:
Mas sabemos que
é independente em
, então necessariamente
Passo 4
Como toda combinação linear dos vetores de
que zera em
força todos os coeficientes a serem zero, concluímos que
é linearmente independente em
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.