Seja V=\mathbb{R}^{3} o espaço vetorial dos vetores no espaço. Verifique quais dos subconjuntos a seguir são de vetores linearmente independentes
\{(1,2,3),(3,4,5),(5,6,7)\}

Passo 1

O enunciado diz que em V=\mathbb{R}^3 temos os vetores
v_1=(1,2,3),\quad v_2=(3,4,5),\quad v_3=(5,6,7)
e pede para verificar se o conjunto \{v_1,v_2,v_3\} é linearmente independente.
Para isso vamos usar a definição: \{v_1,v_2,v_3\} é LI se, na combinação
a\,v_1 + b\,v_2 + c\,v_3 = (0,0,0),
a única solução for a=b=c=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear igual a zero, obtemos o sistema
a\,(1,2,3) + b\,(3,4,5) + c\,(5,6,7) = (0,0,0).
Em coordenadas, isso dá
\begin{cases} a + 3b + 5c = 0,\\\\ 2a + 4b + 6c = 0,\\\\ 3a + 5b + 7c = 0. \end{cases}
Em vez de resolver todo o sistema, basta encontrar uma solução não trivial (uma relação de dependência).

Passo 3

Observe que
2\,(3,4,5) - (1,2,3) - (5,6,7) = (6,8,10) - (1,2,3) - (5,6,7) = (0,0,0).
Isto é,
2\,v_2 - 1\,v_1 - 1\,v_3 = (0,0,0),
com (a,b,c)=(-1,2,-1) que não é o vetor nulo. Logo há combinação linear não trivial.

Resposta

O conjunto \{(1,2,3),\,(3,4,5),\,(5,6,7)\} é linearmente dependente.

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