Seja V=\mathbb{R}^{3} o espaço vetorial dos vetores no espaço. Verifique quais dos subconjuntos a seguir são de vetores linearmente independentes
\{(1,1,2),(2,3,-1),(-1,-6,9)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores (1,1,2), (2,3,-1) e (-1,-6,9) em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes. Em \mathbb{R}^3, três vetores são linearmente independentes se, e somente se, o determinante da matriz formada por eles (como colunas ou linhas) for diferente de zero.

Passo 2

Montamos a matriz M cujas colunas são esses vetores:
M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 3 & -6 \\\\ 2 & -1 & 9 \end{pmatrix}
e calculamos \det(M).

Passo 3

O cálculo do determinante é
\det(M) = 1\cdot(3\cdot9 - (-6)\cdot(-1)) \;-\; 2\cdot(1\cdot9 - (-6)\cdot2) \;+\; (-1)\cdot(1\cdot(-1) - 3\cdot2) = -14.
Como -14 \neq 0, segue que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores (1,1,2), (2,3,-1) e (-1,-6,9) são linearmente independentes.

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