Exercício 1. Usando o Método de Gauss-Jordan, resolva o sistema A X=B onde
\begin{gathered} A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 4 & 0 & 1 \\\\ -1 & 2 & 2 & 1 \\\\ 0 & 3 & 0.3 & 1.2 \\\\ -0.4 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right), \\\ B=\left(\begin{array}{c} 11 \\\\ 5 \\\\ 9.3 \\\\ -7 \end{array}\right), \\\ X=\left(\begin{array}{c} x \\\ y \\\ z \\\ t \end{array}\right) . \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
A\,X = B
usando o Método de Gauss–Jordan. Aqui o conteúdo principal é montar a matriz aumentada [A\mid B], escolher pivôs em cada coluna, normalizar a linha do pivô e zerar todos os outros elementos dessa coluna até obter a forma reduzida.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada [A\mid B]:
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 & 1 & 11\\\\ -1 & 2 & 2 & 1 & 5\\\\ 0 & 3 & 0,3 & 1,2 & 9,3\\\\ -0,4 & 0 & 1 & -2 & -7 \end{pmatrix}

Passo 3

Zeramos os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (que é 1 na linha 1):
R_2 \leftarrow R_2 + R_1
R_4 \leftarrow R_4 + 0,4\,R_1
Isso produz
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 & 1 & 11\\\\ 0 & 6 & 2 & 2 & 16\\\\ 0 & 3 & 0,3 & 1,2 & 9,3\\\\ 0 & 1,6 & 1 & -1,6 & -2,6 \end{pmatrix}

Passo 4

Agora escolhemos o pivô da segunda coluna em R_2, que vale 6.
– Normalizamos R_2 dividindo por 6:
R_2 \leftarrow \frac{1}{6}R_2 \;\Longrightarrow\; (0\;\;1\;\;\tfrac{1}{3}\;\;\tfrac{1}{3}\;\;\tfrac{8}{3})
– Zeros em coluna 2 nas outras linhas:
\bullet R_1 \leftarrow R_1 - 4\,R_2 \bullet R_3 \leftarrow R_3 - 3\,R_2 \bullet R_4 \leftarrow R_4 - 1,6\,R_2
Fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\tfrac{4}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3}\\\\ 0 & 1 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{8}{3}\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{7}{10} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{13}{10}\\\\ 0 & 0 & \tfrac{7}{15} & -\tfrac{32}{15} & -\tfrac{103}{15} \end{pmatrix}

Passo 5

Pivô da terceira coluna em R_3 é -\tfrac{7}{10}.
– Normalizamos R_3 multiplicando por -\tfrac{10}{7}:
R_3 \leftarrow 1\;\;\;0\;\;\;0\;\;\;1\;\;\;-\tfrac{2}{7}\;\;\;-\tfrac{13}{7}
– Zeros em coluna 3:
\bullet R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{4}{3}\,R_3 \bullet R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{1}{3}\,R_3 \bullet R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{7}{15}\,R_3
Obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{5}{7} & -\tfrac{15}{7}\\\\ 0 & 1 & 0 & \tfrac{3}{7} & \tfrac{23}{7}\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{2}{7} & -\tfrac{13}{7}\\\\ 0 & 0 & 0 & -2 & -6 \end{pmatrix}

Passo 6

Pivô da quarta coluna em R_4 é -2.
– Normalizamos R_4 dividindo por -2:
R_4 \leftarrow (0\;0\;0\;1\;3)
– Zeros em coluna 4:
\bullet R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{5}{7}\,R_4 \bullet R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{3}{7}\,R_4 \bullet R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac{2}{7}\,R_4
A forma final é a matriz identidade à esquerda e, à direita, o vetor solução:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}

Resposta

x = 0,\quad y = 2,\quad z = -1,\quad t = 3.

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