Seja V um K-espaço vetorial. Se W é subespaço de V e A \subset W, onde A é um subconjunto de vetores l.i. em V então A é um subconjunto de vetores l.i. de W.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial sobre o corpo K, que W é um subespaço de V e que A\subset W é um conjunto de vetores que já é linearmente independente em V. O que queremos mostrar é que essa mesma independência linear vale em W. Para isso vamos usar apenas a definição de independência linear e o fato de que em um subespaço as operações são as mesmas do espaço maior.

Passo 2

Lembrando a definição: um conjunto de vetores \{v_1,\dots,v_n\} é linearmente independente num espaço X se, sempre que\r
\alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n = 0_X
com \alpha_i\in K, daí decorre que
\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_n=0.

Passo 3

Agora, seja
a_1,\dots,a_n\in A
e suponha que em W tenhamos uma combinação linear que dá o zero de W:
\beta_1 a_1 + \cdots + \beta_n a_n = 0_W.
Como W é subespaço de V, o vetor 0_W é o mesmo que 0_V e a soma escalar em W coincide com a soma escalar em V. Logo essa mesma igualdade vale em V:
\beta_1 a_1 + \cdots + \beta_n a_n = 0_V.
Mas sabemos que A é independente em V, então necessariamente
\beta_1=\beta_2=\cdots=\beta_n=0.

Passo 4

Como toda combinação linear dos vetores de A que zera em W força todos os coeficientes a serem zero, concluímos que A é linearmente independente em W.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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