Exercício 2. Seja a um número real. Considere o seguinte sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 2 x-y-z=2 \\\\ -3 x+2 y-2 z=1 \\\ a x+y-z=3 \end{array}\right.
Determine os valores de a tais que:
  1. O sistema admite uma única solução, e determine a tal solução usando o me?todo de Gauss-Jordan
  2. O sistema é incompatível, ou seja, não admite nenhuma solução;
  3. O sistema admite infinitas soluções e determine estas soluções usando o método de Gauss-Jordan.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com parâmetro a\): \[\begin{cases} 2x - y - z = 2,\\\\ -3x + 2y - 2z = 1,\\\ a x + y - z = 3. \end{cases}
O conteúdo é eliminação de Gauss–Jordan para estudar compatibilidade segundo o valor de (a] e, em cada caso, encontrar as soluções.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e aplicamos Gauss–Jordan passo a passo:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & -1 & 2\\\\ -3 & 2 & -2 & 1\\\ a & 1 & -1 & 3 \end{array}\right].
  1. Dividimos a primeira linha por 2:
R_1\leftarrow \tfrac12R_1\;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -\tfrac12 & -\tfrac12 & 1\\\\ -3 & 2 & -2 & 1\\\ a & 1 & -1 & 3 \end{array}\right].
  1. Eliminamos x em R_2 e R_3:
R_2\leftarrow R_2+3R_1,\quad R_3\leftarrow R_3 - aR_1 \;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -\tfrac12 & -\tfrac12 & 1\\\\ 0 & \tfrac12 & -\tfrac72 & 4\\\\ 0 & 1+\tfrac a2 & -1+\tfrac a2 & 3 - a \end{array}\right].
  1. Multiplicamos R_2 por 2 e usamos para zerar a coluna y em R_1,R_3:
R_2\leftarrow 2R_2,\quad R_1\leftarrow R_1 + \tfrac12R_2,\quad R_3\leftarrow R_3 -\bigl(1+\tfrac a2\bigr)R_2
que leva à forma
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -4 & 5\\\\ 0 & 1 & -7 & 8\\\\ 0 & 0 & 6+4a & -5-5a \end{array}\right].

Passo 3

Da terceira linha obtemos a equação
(6+4a)\,z = -5 -5a.
Para estudar soluções, consideramos os três cenários:
  • Se 6+4a\neq0, há pivô em z e única solução.
  • Se 6+4a=0 e -5-5a\neq0, a linha vira 0z = não-zero, logo sistema incompatível.
  • Se 6+4a=0 e -5-5a=0, teríamos infinitas soluções.

Passo 4

Caso 6+4a\neq0 (ou seja, a\neq -\tfrac32):
z = \frac{-5 -5a}{6+4a}.
Substituindo em R_2 e R_1:
y = 8 + 7z,\qquad x = 5 + 4z.
Isso dá a solução única para todo a\neq -\tfrac32.

Passo 5

Caso 6+4a=0 (isto é, a=-\tfrac32):
-5 -5a = -5 -5\bigl(-\tfrac32\bigr)= -5 + \tfrac{15}2 = \tfrac52 \neq 0,
então a equação fica 0 = \tfrac52, impossível. Logo não há solução.

Passo 6

Para ter infinitas soluções precisaríamos simultaneamente
6+4a=0 \quad\text{e}\quad -5-5a=0.
A segunda exige a=-1, que não satisfaz a primeira. Portanto, não existe nenhum valor de a que gere infinitas soluções.

Resposta

  1. Para a\neq -\tfrac32 o sistema tem única solução
z = \frac{-5 -5a}{6+4a},\quad y = 8 + 7\,z,\quad x = 5 + 4\,z.
  1. Para a=-\tfrac32 o sistema é incompatível (nenhuma solução).
  2. Não há valor de a que produza infinitas soluções.

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