Exercício 2. Seja a um número real. Considere o seguinte sistema linear
Determine os valores de a tais que:
- O sistema admite uma única solução, e determine a tal solução usando o me?todo de Gauss-Jordan
- O sistema é incompatível, ou seja, não admite nenhuma solução;
-
sistema admite infinitas soluções e determine estas soluções usando o método de Gauss-Jordan.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com parâmetro
O conteúdo é eliminação de Gauss–Jordan para estudar compatibilidade segundo o valor de (a] e, em cada caso, encontrar as soluções.
Passo 2
Escrevemos a matriz aumentada e aplicamos Gauss–Jordan passo a passo:
- Dividimos a primeira linha por
:
- Eliminamos
em e :
- Multiplicamos
por e usamos para zerar a coluna em :
que leva à forma
Passo 3
Da terceira linha obtemos a equação
Para estudar soluções, consideramos os três cenários:
- Se
, há pivô em e única solução. - Se
e , a linha vira não-zero, logo sistema incompatível. - Se
e , teríamos infinitas soluções.
Passo 4
Caso
(ou seja,
):
Substituindo em
e
:
Isso dá a solução única para todo
.
Passo 5
Caso
(isto é,
):
então a equação fica
, impossível. Logo não há solução.
Passo 6
Para ter infinitas soluções precisaríamos simultaneamente
A segunda exige
, que não satisfaz a primeira. Portanto, não existe nenhum valor de
que gere infinitas soluções.
Resposta
- Para
o sistema tem única solução
- Para
o sistema é incompatível (nenhuma solução). - Não há valor de
que produza infinitas soluções.