Seja V=\mathbb{R}^{2} e a base \mathcal{B}=\{(1,1),(1,-1)\}, uma base de \mathbb{R}^{2}.
a) Determine a matriz de mudança de base de \mathcal{B} para a base canônica.
b) Determine a matriz inversa (mudança da base canônica para \mathcal{B} ).
c) Encontre as coordenadas de (3,1) na base \mathcal{B}.
Passo 1
O enunciado dá as informações e pede o seguinte:
Espaço vetorial: V=\mathbb{R}^{2}.
Base \mathcal{B}=\{(1,1),(1,-1)\} (os dois vetores estão escritos nas coordenadas canônicas).
As perguntas são:
(a) Determine a matriz de mudança de base de \mathcal{B} para a base canônica.
(b) Determine a matriz inversa (mudança da base canônica para \mathcal{B}).
(c) Encontre as coordenadas de (3,1) na base \mathcal{B}.
Passo 2
Definição prática (como usar na prova): a matriz de mudança de base de \mathcal{B} para a base canônica é a matriz cujas colunas são exatamente os vetores da base \mathcal{B} escritos nas coordenadas canônicas. Ou seja, se \mathcal{B}=\{v_1,v_2\} com v_1=(1,1) e v_2=(1,-1), então a matriz P que transforma coordenadas em \mathcal{B} para coordenadas canônicas é
Isso é direto: para [x]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}c_1\c_2\end{pmatrix} temos x = c_1 v_1 + c_2 v_2 = P\,[x]_{\mathcal{B}}.
Passo 3
Aplicando a regra do passo anterior com v_1=(1,1) e v_2=(1,-1) obtemos explicitamente
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
Esse é o resultado da parte (a): a matriz cujas colunas são os vetores da base \mathcal{B}.]
Passo 4
Agora vamos obter a inversa de P. Primeiro verificamos que P é invertível porque \mathcal{B} é base (os vetores são linearmente independentes). Computamos o determinante de P (fórmula para 2\times2):
\det(P) = 1\cdot(-1) - 1\cdot 1 = -1 - 1 = -2.
Como \det(P)=-2 \neq 0, P tem inversa.
Passo 5
Fórmula prática para a inversa de uma matriz 2\times2:
se A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} então
logo P P^{-1}=I, confirmação de que a inversa está correta.]
Passo 7
Agora a parte (c): encontrar as coordenadas de [x=(3,1)) na base \mathcal{B}. Duas maneiras equivalentes (vou mostrar as duas porque uma é algébrica direta e outra usa a matriz inversa — saiba usar as duas na prova).
Método direto (resolver sistema): queremos c_1,c_2 tais que
Substituindo em c_1+c_2=3\]:
\[2 + c_2 = 3 \quad\Rightarrow\quad c_2 = 1.\]
Portanto as coordenadas de \((3,1) em \mathcal{B} são \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.]
Passo 8
Método via matriz inversa (checar ou aplicar diretamente): como P transforma coordenadas em \mathcal{B} para canônicas, para recuperar coordenadas em \mathcal{B} de um vetor canônico x basta calcular [x]_{\mathcal{B}}=P^{-1}x. Assim