Seja V=\mathbb{R}^{2} e a base \mathcal{B}=\{(1,1),(1,-1)\}, uma base de \mathbb{R}^{2}.
a) Determine a matriz de mudança de base de \mathcal{B} para a base canônica.
b) Determine a matriz inversa (mudança da base canônica para \mathcal{B} ).
c) Encontre as coordenadas de (3,1) na base \mathcal{B}.

Passo 1

O enunciado dá as informações e pede o seguinte:
  • Espaço vetorial: V=\mathbb{R}^{2}.
  • Base \mathcal{B}=\{(1,1),(1,-1)\} (os dois vetores estão escritos nas coordenadas canônicas).
    As perguntas são:
    (a) Determine a matriz de mudança de base de \mathcal{B} para a base canônica.
    (b) Determine a matriz inversa (mudança da base canônica para \mathcal{B}).
    (c) Encontre as coordenadas de (3,1) na base \mathcal{B}.

Passo 2

Definição prática (como usar na prova): a matriz de mudança de base de \mathcal{B} para a base canônica é a matriz cujas colunas são exatamente os vetores da base \mathcal{B} escritos nas coordenadas canônicas. Ou seja, se \mathcal{B}=\{v_1,v_2\} com v_1=(1,1) e v_2=(1,-1), então a matriz P que transforma coordenadas em \mathcal{B} para coordenadas canônicas é
P=\begin{pmatrix} \text{coluna }v_1 & \text{coluna }v_2 \end{pmatrix}.
Isso é direto: para [x]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}c_1\c_2\end{pmatrix} temos x = c_1 v_1 + c_2 v_2 = P\,[x]_{\mathcal{B}}.

Passo 3

Aplicando a regra do passo anterior com v_1=(1,1) e v_2=(1,-1) obtemos explicitamente
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
Esse é o resultado da parte (a): a matriz cujas colunas são os vetores da base \mathcal{B}.]

Passo 4

Agora vamos obter a inversa de P. Primeiro verificamos que P é invertível porque \mathcal{B} é base (os vetores são linearmente independentes). Computamos o determinante de P (fórmula para 2\times2):
\det(P) = 1\cdot(-1) - 1\cdot 1 = -1 - 1 = -2.
Como \det(P)=-2 \neq 0, P tem inversa.

Passo 5

Fórmula prática para a inversa de uma matriz 2\times2:
se A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} então
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando essa fórmula a P=\begin{pmatrix}1 & 1\\\\ 1 & -1\end{pmatrix} (aqui a=1,b=1,c=1,d=-1) temos a adjunta
\begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & -1\\\\ -1 & 1\end{pmatrix},
e dividindo por \det(P)=-2 obtemos
P^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}-1 & -1\\\\ -1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Breve verificação (útil na prova para checar cálculos): multiplicando P por P^{-1} deve dar a identidade. Calculando a primeira coluna de P P^{-1}:
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix},
e a segunda coluna:
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[2pt]-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix},
logo P P^{-1}=I, confirmação de que a inversa está correta.]

Passo 7

Agora a parte (c): encontrar as coordenadas de [x=(3,1)) na base \mathcal{B}. Duas maneiras equivalentes (vou mostrar as duas porque uma é algébrica direta e outra usa a matriz inversa — saiba usar as duas na prova).
Método direto (resolver sistema): queremos c_1,c_2 tais que
c_1(1,1)+c_2(1,-1)=(3,1).
Escrevendo coordenadas componentes:
\begin{cases} c_1 + c_2 = 3,\\[4pt] c_1 - c_2 = 1. \end{cases}
Somando as duas equações:
2c_1 = 4 \quad\Rightarrow\quad c_1 = 2.
Substituindo em c_1+c_2=3\]: \[2 + c_2 = 3 \quad\Rightarrow\quad c_2 = 1.\] Portanto as coordenadas de \((3,1) em \mathcal{B} são \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Método via matriz inversa (checar ou aplicar diretamente): como P transforma coordenadas em \mathcal{B} para canônicas, para recuperar coordenadas em \mathcal{B} de um vetor canônico x basta calcular [x]_{\mathcal{B}}=P^{-1}x. Assim
P^{-1}\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}(3+1)\\[6pt]\tfrac{1}{2}(3-1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix},
mesmo resultado, confirmado.]

Resposta

(a) \displaystyle P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}
(b) \displaystyle P^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}
(c) \displaystyle [(3,1)]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}]

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