Seja C[0,1] o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo [0,1].
(a) Prove que C[0,1] é um espaço vetorial.
(b) Mostre que C[0,1] é um espaço com produto interno em que o produto interno está dado por
\langle f(x), g(x)\rangle=\int_{0}^{1} f(x) g(x) d x, \quad \forall f(x), g(x) \in C[0,1]
(c) Determine a distância e o ângulo entre f(x)=x^{2} e g(x)=1+x^{2}.
(d) São as anteriores funções f(x) e g(x) ortogonais?.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto C[0,1] de todas as funções contínuas em [0,1] e pede quatro coisas:
  • (a) Mostrar que C[0,1] é um espaço vetorial (ou seja, fechado por soma e multiplicação por escalar e satisfaz os axiomas).
  • (b) Mostrar que a fórmula
\langle f(x),g(x)\rangle=\int_{0}^{1} f(x) g(x)\,dx
define um produto interno em C[0,1].
  • (c) Calcular a distância e o ângulo entre f(x)=x^{2} e g(x)=1+x^{2}, usando o produto interno acima.
  • (d) Dizer se f e g são ortogonais.
Informações relevantes que já temos (retiradas do enunciado):
  • Todo f\in C[0,1] é uma função real contínua em [0,1].
  • O produto interno proposto é o integral do produto ponto a ponto de duas funções no intervalo [0,1].

Passo 2

Provar que C[0,1] é um espaço vetorial — estratégia e fatos usados:
  • Operações vetoriais são a soma ponto a ponto e a multiplicação por escalar ponto a ponto, isto é, para f,g\in C[0,1] e \alpha\in\mathbb{R} definimos
(f+g)(x)=f(x)+g(x),\qquad (\alpha f)(x)=\alpha\cdot f(x).
  • Fato importante (usado sem prova técnica aqui, mas é um teorema padrão): soma de funções contínuas é contínua e múltiplo escalar de função contínua é contínua. Portanto f+g\in C[0,1] e \alpha f\in C[0,1] — isso garante fechamento.
Agora verificações essenciais (explicadas de forma direta, porque os restantes axiomas são propriedades elementares das operações reais aplicadas ponto a ponto):
  1. Existência do vetor zero: a função zero 0(x)\equiv 0 é contínua em [0,1], logo 0\in C[0,1] e f+0=f ponto a ponto.
  2. Existência de inverso aditivo: para f\in C[0,1] a função -f é contínua e f+(-f)=0.
  3. Fechamento sob soma e multiplicação por escalar já foi afirmado.
  4. Associatividade e comutatividade da soma, distributividade da multiplicação escalar sobre soma, etc., seguem porque cada igualdade se reduz a igualdades em \mathbb{R} válidas ponto a ponto.
Conclusão: todas as propriedades de espaço vetorial sobre \mathbb{R} são satisfeitas por C[0,1] com as operações ponto a ponto, portanto C[0,1] é um espaço vetorial.

Passo 3

Mostrar que a fórmula dada é um produto interno. Lembrete: para ser produto interno em espaço real precisamos verificar três propriedades para todo f,g,h\in C[0,1] e \alpha\in\mathbb{R}:
  1. Simetria: \langle f,g\rangle=\langle g,f\rangle.
  2. Linearidade (bilinearidade): \langle \alpha f+g,h\rangle=\alpha\langle f,h\rangle+\langle g,h\rangle.
  3. Positividade definida: \langle f,f\rangle\ge 0 com igualdade só se f\equiv 0.
Verificações:
  • Simetria: pelo produto real f(x)g(x)=g(x)f(x) para cada x. Integrando,
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,dx=\int_{0}^{1} g(x)f(x)\,dx=\langle g,f\rangle.
  • Linearidade: a integral é linear. Assim
\langle \alpha f+g,h\rangle=\int_{0}^{1} (\alpha f(x)+g(x))h(x)\,dx =\alpha\int_{0}^{1} f(x)h(x)\,dx+\int_{0}^{1} g(x)h(x)\,dx =\alpha\langle f,h\rangle+\langle g,h\rangle.
(Analogamente linearidade no segundo argumento também vale porque estamos em \mathbb{R} e o integral é bilinear.)
  • Positividade definida: para todo f\in C[0,1],
\langle f,f\rangle=\int_{0}^{1} f(x)^{2}\,dx \ge 0
porque f(x)^{2}\ge 0 para todo x. Se \langle f,f\rangle=0 então \int_{0}^{1} f(x)^{2}\,dx=0. Como f^{2} é contínua e não-negativa, a única forma de integral nula é f(x)^{2}=0 para todo x, portanto f(x)=0 para todo x. Assim \langle f,f\rangle=0 implica f\equiv 0.
Portanto as três propriedades são satisfeitas e a fórmula define um produto interno em C[0,1].

Passo 4

Definir normas, distância e ângulo (fórmulas e intuição):
  • A norma induzida pelo produto interno é
\|f\|=\sqrt{\langle f,f\rangle}=\left(\int_{0}^{1} f(x)^{2}\,dx\right)^{1/2}.
Intuição: mede “tamanho” da função no sentido quadrático no intervalo.
  • A distância entre f e g é
d(f,g)=\|f-g\|=\left(\int_{0}^{1} (f(x)-g(x))^{2}\,dx\right)^{1/2}.
  • O ângulo \theta entre f e g é definido por
\cos\theta=\frac{\langle f,g\rangle}{\|f\|\,\|g\|},
quando \|f\| e \|g\| não são nulas. Intuição: análoga ao produto interno euclidiano — mede quanto as funções “apontam na mesma direção” no espaço de funções.
Vamos agora aplicar essas fórmulas às funções dadas.

Passo 5

Calcular \langle f,f\rangle para f(x)=x^{2}:
\langle f,f\rangle=\int_{0}^{1} x^{4}\,dx=\left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{5}.
Logo
\|f\|=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.

Passo 6

Calcular \langle g,g\rangle para g(x)=1+x^{2}. Primeiro expandir:
g(x)^{2}=(1+x^{2})^{2}=1+2x^{2}+x^{4}.
Integrando:
\langle g,g\rangle=\int_{0}^{1} (1+2x^{2}+x^{4})\,dx =\left[x+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1} =1+\frac{2}{3}+\frac{1}{5}.
Colocando em denominador comum 15:
1+\frac{2}{3}+\frac{1}{5}=\frac{15+10+3}{15}=\frac{28}{15}.
Logo
\|g\|=\sqrt{\frac{28}{15}}.

Passo 7

Calcular \langle f,g\rangle para f(x)=x^{2} e g(x)=1+x^{2}:
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{1} x^{2}(1+x^{2})\,dx=\int_{0}^{1} (x^{2}+x^{4})\,dx =\left[\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{8}{15}.

Passo 8

Calcular a distância d(f,g)=\|f-g\|. Observe que
f(x)-g(x)=x^{2}-(1+x^{2})=-1,
que é a função constante -1. Então
\|f-g\|=\sqrt{\langle f-g,f-g\rangle}=\sqrt{\int_{0}^{1} (-1)^{2}\,dx} =\sqrt{\int_{0}^{1} 1\,dx}=\sqrt{1}=1.
Portanto a distância entre f e g é 1.

Passo 9

Calcular o ângulo \theta entre f e g. Usamos
\cos\theta=\frac{\langle f,g\rangle}{\|f\|\,\|g\|}.
Substituindo os valores encontrados:
\cos\theta=\frac{\tfrac{8}{15}}{\sqrt{\tfrac{1}{5}}\;\sqrt{\tfrac{28}{15}}} =\frac{8/15}{\sqrt{\tfrac{28}{75}}}.
Simplificar passo a passo:
\sqrt{\frac{28}{75}}=\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{75}}=\frac{2\sqrt{7}}{5\sqrt{3}}.
Então
\cos\theta=\frac{8/15}{\,\dfrac{2\sqrt{7}}{5\sqrt{3}}\,} =\frac{8}{15}\cdot\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} =\frac{40\sqrt{3}}{30\sqrt{7}} =\frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{7}}.
Portanto
\cos\theta=\frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{7}}.
Isto dá um valor numérico aproximado
\cos\theta\approx 0{,}872871\quad\Rightarrow\quad \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{7}}\right)\approx 0{,}5154\\ \text{rad}\approx 29{,}53^\circ.

Passo 10

Verificar ortogonalidade: funções são ortogonais se \langle f,g\rangle=0. Como encontramos
\langle f,g\rangle=\frac{8}{15}\neq 0,
concluímos que f e g não são ortogonais.

Resposta

(a) C[0,1] é um espaço vetorial.
(b) Sim; \langle f,g\rangle=\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,dx é um produto interno em C[0,1].
(c) d(f,g)=1. \displaystyle \cos\theta=\frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{7}}, \displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{7}}\right)\approx 0{,}5154\\ \text{rad}\approx 29{,}53^\circ.
(d) Não; \langle f,g\rangle=\dfrac{8}{15}\neq 0, logo não são ortogonais.

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