Seja V=\mathbb{R}^{3} o espaço vetorial dos vetores no espaço. Verifique quais dos subconjuntos a seguir são de vetores linearmente independentes
\{(1,2,3),(3,2,1),(-7,-2,1)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto
\{(1,2,3),\,(3,2,1),\,(-7,-2,1)\}\subset\mathbb{R}^3
é formado por vetores linearmente independentes.
Conteúdo: independência linear em \mathbb{R}^3. Vamos usar a definição via combinação linear e calcular o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores.

Passo 2

Pela definição, os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes se existem escalares não todos nulos a,b,c tais que
a\,v_1 + b\,v_2 + c\,v_3 = (0,0,0).
Caso contrário, ou seja, se a única solução for a=b=c=0, eles são linearmente independentes.

Passo 3

Escrevendo a combinação homogênea obtemos o sistema
a\,(1,2,3) + b\,(3,2,1) + c\,(-7,-2,1) = (0,0,0),
isto é,
\begin{cases} a + 3b -7c = 0,\\\\ 2a+2b -2c = 0,\\\\ 3a + b + c = 0. \end{cases}
Em forma de matriz:
M = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -7\\\\ 2 & 2 & -2\\\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix},
onde \,(a,b,c)^T é solução de M\,(a,b,c)^T=(0,0,0)^T.

Passo 4

Calculamos o determinante de M para verificar se há solução não trivial:
\det(M) =1\cdot(2\cdot1 - (-2)\cdot1) -3\cdot(2\cdot1 - (-2)\cdot3) +(-7)\cdot(2\cdot1 - 2\cdot3).
Fazendo as contas:
\det(M) =1\cdot4 -3\cdot8 +(-7)\cdot(-4) =4 -24 +28 =8.
Como \det(M)=8\neq0, a única solução é a=b=c=0.

Passo 5

Como a combinação homogênea só admite a solução trivial, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto \{(1,2,3),\,(3,2,1),\,(-7,-2,1)\} é linearmente independente.

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