Seja V=\mathbb{R}^{3} o espaço vetorial dos vetores no espaço. Verifique quais dos subconjuntos a seguir são de vetores linearmente independentes \{(1,2,3),(3,2,1),(-7,-2,1)\}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o subconjunto \{(1,2,3),\,(3,2,1),\,(-7,-2,1)\}\subset\mathbb{R}^3
é formado por vetores linearmente independentes.
Conteúdo: independência linear em \mathbb{R}^3. Vamos usar a definição via combinação linear e calcular o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores.
Passo 2
Pela definição, os vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes se existem escalares não todos nulos a,b,c tais que
a\,v_1 + b\,v_2 + c\,v_3 = (0,0,0).
Caso contrário, ou seja, se a única solução for a=b=c=0, eles são linearmente independentes.
Passo 3
Escrevendo a combinação homogênea obtemos o sistema
a\,(1,2,3) + b\,(3,2,1) + c\,(-7,-2,1) = (0,0,0),
isto é,
\begin{cases} a + 3b -7c = 0,\\\\ 2a+2b -2c = 0,\\\\ 3a + b + c = 0. \end{cases}