Dê exemplos de subespaços próprios G e H em V tais que G+H=V e G \cap H \neq \emptyset quando:
V=M_{2 \times 2};

Passo 1

O enunciado pede: dar exemplos de subespaços próprios G e H de V tais que G+H=V e G\cap H\neq\emptyset.
Informações relevantes dadas (que vou usar):
  • O espaço vetorial é V=M_{2\times2} (matrizes 2\times2, supondo coeficientes em \mathbb{R}).
  • Quero subespaços próprios, ou seja, G\neq V e H\neq V.
  • Preciso que a soma G+H seja todo V.
  • Preciso que a interseção G\cap H não seja vazia (na prática vou garantir que ela contenha vetores não nulos).

Passo 2

Primeiro algumas lembranças úteis (explicadas de forma bem direta):
  • O espaço V=M_{2\times2} tem dimensão 4 (bases usuais: as quatro matrizes com um 1 e o resto 0). Vou usar isso como referência de tamanhos.
  • Definição de soma: G+H=\{g+h : g\in G,\\ h\in H\}.
  • Fórmula de dimensão para subespaços finito-dimensionais:
\dim(G+H)=\dim G+\dim H-\dim(G\cap H).
Se eu conseguir escolher G e H com dimensões e interseção adequadas para que o lado direito seja 4, então G+H=V. Isso é prático porque em prova é comum usar essa fórmula em vez de checar elemento a elemento.

Passo 3

Vou propor escolhas simples e concretas (facilitam cálculo e evidências):
  • Definir G como o subespaço das matrizes de traço zero:
G=\{A\in M_{2\times2} : \operatorname{tr}(A)=0\}.
  • Definir H como o subespaço das matrizes cuja segunda coluna é a coluna zero:
H=\left\{\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt] c & 0\end{pmatrix} : a,c\in\mathbb{R}\right\}.
Essas escolhas são intuitivas: G é “grande” (dimension 3) e H é “menor” (dimension 2), e espero que sua interseção tenha dimensão 1, o que dará soma de dimensão 3+2-1=4.]

Passo 4

Vou mostrar que G e H são de fato subespaços (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • Para G: o zero da matriz tem traço 0 portanto 0\in G. Se A,B\in G então \operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)=0+0=0, então A+B\in G. Se \lambda\in\mathbb{R} e A\in G então \operatorname{tr}(\lambda A)=\lambda\operatorname{tr}(A)=\lambda\cdot0=0, então \lambda A\in G. Logo G é subespaço.
  • Para H: o zero tem segunda coluna zero, logo 0\in H. Soma e produto escalar preservam a segunda coluna nula, pois se
\begin{pmatrix}a_1 & 0\\\ c_1 & 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}a_2 & 0\\\ c_2 & 0\end{pmatrix}\in H,
então sua soma é \begin{pmatrix}a_1+a_2 & 0\\\ c_1+c_2 & 0\end{pmatrix}\in H; e \lambda\begin{pmatrix}a & 0\\\ c & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda a & 0\\\ \lambda c & 0\end{pmatrix}\in H. Assim H é subespaço.

Passo 5

Calcular bases e dimensões (isso ajuda a usar a fórmula de dimensão).
  • Para G (traço zero): uma base conveniente é
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Logo \dim G=3. (Qualquer matriz A=\begin{pmatrix}x&y\\\ z&w\end{pmatrix} com x+w=0 pode ser escrita unicamente como combinação linear dessas três.)
  • Para H (segunda coluna zero): uma base é
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},
portanto \dim H=2.]

Passo 6

Determinar G\cap H explicitamente e verificar que contém vetores não nulos.
  • Uma matriz em H tem forma \begin{pmatrix}a & 0\\\ c & 0\end{pmatrix}. Para estar também em G precisamos de traço zero, isto é a+0=0, logo a=0. Portanto
G\cap H=\left\{\begin{pmatrix}0 & 0\\\ c & 0\end{pmatrix}: c\in\mathbb{R}\right\}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\right\}.
Isto mostra \dim(G\cap H)=1. Em particular a interseção não é apenas \{0\}: por exemplo \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\in G\cap H é não nula.]

Passo 7

Usar a fórmula de dimensão para concluir que G+H=V.
  • Aplicando a fórmula:
\dim(G+H)=\dim G+\dim H-\dim(G\cap H)=3+2-1=4.
Como \dim V=4, segue que \dim(G+H)=\dim V e portanto G+H=V.
Além disso, para ficar mais concreto, mostro como escrever uma matriz genérica como soma de algo em G e algo em H. Seja
M=\begin{pmatrix}x & y\\[4pt] z & w\end{pmatrix}\in M_{2\times2}.
Escolha
h=\begin{pmatrix}x+w & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\in H, \qquad g=\begin{pmatrix}-w & y\\[4pt] z & w\end{pmatrix}\in G.
Então M=g+h. Verifique: \operatorname{tr}(g)=-w+w=0 (logo g\in G), h tem segunda coluna zero (logo h\in H), e g+h=M. Isso dá uma construção explícita que qualquer matriz pode ser obtida como soma de um de G e um de H.]

Passo 8

Resumo e verificação das condições pedidas:
  • G e H são subespaços próprios de V ( \dim G=3<4, \dim H=2<4).
  • G\cap H contém matrizes não nulas (dimensão 1), portanto é não vazio.
  • G+H=V (dimensão da soma é 4).
    Pronto — temos exemplos concretos e uma forma mecânica de decompor qualquer matriz da prova.

Resposta

G=\{A\in M_{2\times2}:\operatorname{tr}(A)=0\}
H=\left\{\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt] c & 0\end{pmatrix}:a,c\in\mathbb{R}\right\}]

Exercícios relacionados