Dê exemplos de subespaços próprios
e
em
tais que
e
quando:
;
Passo 1
O enunciado pede: dar exemplos de subespaços próprios
e
de
tais que
e
.
Informações relevantes dadas (que vou usar):
Informações relevantes dadas (que vou usar):
- O espaço vetorial é
(matrizes , supondo coeficientes em ). - Quero subespaços próprios, ou seja,
e . - Preciso que a soma
seja todo . - Preciso que a interseção
não seja vazia (na prática vou garantir que ela contenha vetores não nulos).
Passo 2
Primeiro algumas lembranças úteis (explicadas de forma bem direta):
- O espaço
tem dimensão (bases usuais: as quatro matrizes com um 1 e o resto 0). Vou usar isso como referência de tamanhos. - Definição de soma:
. - Fórmula de dimensão para subespaços finito-dimensionais:
Se eu conseguir escolher
e
com dimensões e interseção adequadas para que o lado direito seja
, então
. Isso é prático porque em prova é comum usar essa fórmula em vez de checar elemento a elemento.
Passo 3
Vou propor escolhas simples e concretas (facilitam cálculo e evidências):
- Definir
como o subespaço das matrizes de traço zero:
- Definir
como o subespaço das matrizes cuja segunda coluna é a coluna zero:
Essas escolhas são intuitivas:
é “grande” (dimension 3) e
é “menor” (dimension 2), e espero que sua interseção tenha dimensão 1, o que dará soma de dimensão
.]
Passo 4
Vou mostrar que
e
são de fato subespaços (passo-a-passo, sem pular etapas).
- Para
: o zero da matriz tem traço portanto . Se então , então . Se e então , então . Logo é subespaço. - Para
: o zero tem segunda coluna zero, logo . Soma e produto escalar preservam a segunda coluna nula, pois se
então sua soma é
; e
. Assim
é subespaço.
Passo 5
Calcular bases e dimensões (isso ajuda a usar a fórmula de dimensão).
- Para
(traço zero): uma base conveniente é
Logo
. (Qualquer matriz
com
pode ser escrita unicamente como combinação linear dessas três.)
- Para
(segunda coluna zero): uma base é
portanto
.]
Passo 6
Determinar
explicitamente e verificar que contém vetores não nulos.
- Uma matriz em
tem forma . Para estar também em precisamos de traço zero, isto é , logo . Portanto
Isto mostra
. Em particular a interseção não é apenas
: por exemplo
é não nula.]
Passo 7
Usar a fórmula de dimensão para concluir que
.
- Aplicando a fórmula:
Como
, segue que
e portanto
.
Além disso, para ficar mais concreto, mostro como escrever uma matriz genérica como soma de algo em e algo em
. Seja
Além disso, para ficar mais concreto, mostro como escrever uma matriz genérica como soma de algo em
Escolha
Então
. Verifique:
(logo
),
tem segunda coluna zero (logo
), e
. Isso dá uma construção explícita que qualquer matriz pode ser obtida como soma de um de
e um de
.]
Passo 8
Resumo e verificação das condições pedidas:
-
e são subespaços próprios de ( , ). -
contém matrizes não nulas (dimensão ), portanto é não vazio. -
(dimensão da soma é ).
Pronto — temos exemplos concretos e uma forma mecânica de decompor qualquer matriz da prova.