Faça o que se pede:
Dadas as equações paramétricas \left\{\begin{array}{l}x=4 \cos \theta \\\ y=-1+\sqrt{2} \operatorname{sen} \theta\end{array} \quad \theta \in[0,2 \pi]\right., encontre a equação cartesiana na forma reduzida correspondente. Identifique a curva trabalhada.

Passo 1

O enunciado dá as paramétricas
x = 4\cos\theta,\quad y = -1 + \sqrt{2}\,\operatorname{sen}\theta,\quad \theta\in[0,2\pi]
e pede a equação cartesiana na forma reduzida. O conteúdo é converter as funções trigonométricas em variáveis x e y usando a identidade fundamental \operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta=1.

Passo 2

Isolamos \cos\theta e \operatorname{sen}\theta em função de x e y:
\cos\theta = \frac{x}{4}, \quad \operatorname{sen}\theta = \frac{y+1}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Aplicamos a identidade \operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta=1, substituindo as expressões acima:
\Bigl(\frac{x}{4}\Bigr)^{2} \;+\;\Bigl(\frac{y+1}{\sqrt{2}}\Bigr)^{2} \;=\;1.
Isso leva à forma reduzida da curva:
\frac{x^{2}}{16} \;+\;\frac{(y+1)^{2}}{2} \;=\;1.

Passo 4

Essa é a equação de uma elipse centrada em (0,-1), com semi-eixo maior horizontal a=4 e semi-eixo menor vertical b=\sqrt{2}.

Resposta

A equação cartesiana reduzida é
\frac{x^{2}}{16} + \frac{(y+1)^{2}}{2} = 1
e a curva é uma elipse de centro (0,-1), semi-eixos 4 (horizontal) e \sqrt{2} (vertical).

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