Seja V=Mn. Mostre que as seguintes transformações são lineares :
T(A)=P^-1 A P, onde P é inversível.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=Mn (as matrizes ntimes n sobre um corpo, por exemplo R ou C) e a transformação
Tcolon Mn to Mn, T(A)=P^-1AP,
onde P é uma matriz invertível fixa. Queremos mostrar que T é linear, ou seja, preserva soma de matrizes e multiplicação por escalar.

Passo 2

Lembrando a definição: uma transformação T é linear se, para quaisquer matrizes A,Bin Mn e escalar c, vale
T(A+B)=T(A)+T(B) e T(cA)=c,T(A)

Passo 3

Verificação da aditividade:
T(A+B)=P^-1(A+B)P
Como a multiplicação de matrizes distribui sobre soma, temos
P^-1(A+B)P = P^-1A,P + P^-1B,P = T(A)+T(B)

Passo 4

Verificação da homogeneidade:
T(cA)=P^-1(cA)P
Como podemos fatorar o escalar c na multiplicação, obtém-se
P^-1(cA)P = c,(P^-1A,P) = c,T(A)

Passo 5

Como ambas as propriedades de aditividade e homogeneidade foram verificadas, concluímos que T é de fato uma transformação linear. Além disso, nota-se que
T(0)=P^-10,P = 0,
como esperado para qualquer aplicação linear.

Resposta

A transformação T(A)=P^-1AP é linear.

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