Seja
. Mostre que as seguintes transformações são lineares :
, onde
é inversível.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
(as matrizes
sobre um corpo, por exemplo
ou
) e a transformação
onde
é uma matriz invertível fixa. Queremos mostrar que
é linear, ou seja, preserva soma de matrizes e multiplicação por escalar.
Passo 2
Lembrando a definição: uma transformação
é linear se, para quaisquer matrizes
e escalar
, vale
Passo 3
Verificação da aditividade:
Como a multiplicação de matrizes distribui sobre soma, temos
Passo 4
Verificação da homogeneidade:
Como podemos fatorar o escalar
na multiplicação, obtém-se
Passo 5
Como ambas as propriedades de aditividade e homogeneidade foram verificadas, concluímos que
é de fato uma transformação linear. Além disso, nota-se que
como esperado para qualquer aplicação linear.
Resposta
A transformação
é linear.