Determine:
(a) O polinômio Característico de ;
(b) Os autovalores de ;
(c) Uma base para cada subespaço próprio;
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a transformação linear
Conteúdo: autovalores e autovetores de uma aplicação linear. Vamos primeiro montar a matriz de , depois achar o polinômio característico, extrair os autovalores e, por fim, determinar uma base para cada autovetor (subespaço próprio).
Passo 2
Na base canônica , a matriz de é
Para achar o polinômio característico, calculamos det(A-lambda I).
Passo 3
Escrevendo A-lambda I e expandindo o determinante por cofactores da primeira linha:
A - lambda I = 1-lambda & 2 & -2 2 & 1-lambda & -2 2 & 2 & -3-lambda
(a) pT(lambda)=(lambda-1)(lambda+1)^2.
(b) Os autovalores são lambda=1 (mult.=1) e lambda=-1 (mult.=2).
(c) Para lambda=1: base (1,1,1). Para lambda=-1: base (1,0,1),,(0,1,1).