5 (3,0 pts.) Considere a aplicação linear
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+2 y-2 z, 2 x+y-2 z, 2 x+2 y-3 z)
Determine:
(a) O polinômio Característico de T;
(b) Os autovalores de T;
(c) Uma base para cada subespaço próprio;

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a transformação linear
TcolonR^3toR^3, T(x,y,z)=(x+2y-2z,;2x+y-2z,;2x+2y-3z)
Conteúdo: autovalores e autovetores de uma aplicação linear. Vamos primeiro montar a matriz de T, depois achar o polinômio característico, extrair os autovalores e, por fim, determinar uma base para cada autovetor (subespaço próprio).

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3, a matriz de T é
A = 1 & 2 & -2 2 & 1 & -2 2 & 2 & -3
Para achar o polinômio característico, calculamos det(A-lambda I).

Passo 3

Escrevendo A-lambda I e expandindo o determinante por cofactores da primeira linha:
A - lambda I = 1-lambda & 2 & -2 2 & 1-lambda & -2 2 & 2 & -3-lambda
det(A-lambda I) = (1-lambda)det1-lambda & -22 & -3-lambda -2det2 & -22 & -3-lambda -2det2 & 1-lambda2 & 2
Agora calculamos cada parte:
det1-lambda & -22 & -3-lambda =(1-lambda)(-3-lambda)-(-2)cdot2 =-(1-lambda)(lambda+3)+4 =(lambda+1)^2,
det2 & -22 & -3-lambda =2(-3-lambda)-(-2)cdot2 =-6-2lambda+4=-2-2lambda,
det2 & 1-lambda2 & 2 =2cdot2-(1-lambda)cdot2 =4-2+2lambda=2+2lambda
Substituindo:
det(A-lambda I) =(1-lambda)(lambda+1)^2 -2(-2-2lambda) -2(2+2lambda)
Os dois últimos termos se cancelam, sobrando
det(A-lambda I)=(1-lambda)(lambda+1)^2

Passo 4

O polinômio característico (monic) é
pT(lambda)=(lambda-1)(lambda+1)^2
Logo os autovalores são
lambda=1(mu<iplicidade 1), lambda=-1(mu<iplicidade 2)

Passo 5

Agora achamos uma base de cada autovetor.
Para resolvemos , i.e.
Logo . Uma base para o subespaço próprio é
Para resolvemos , i.e.
Assim
.
Uma base para o subespaço próprio é

Resposta

(a) pT(lambda)=(lambda-1)(lambda+1)^2.
(b) Os autovalores são lambda=1 (mult. =1) e lambda=-1 (mult. =2).
(c) Para lambda=1: base (1,1,1). Para lambda=-1: base (1,0,1),,(0,1,1).

Exercícios relacionados